L'équation ^U = o entraîne les deux suivantes

775. Conditions relatives aux limites. -: Dans le cas où V ne contient que Xy y, p et q^ l'équation K = o est du quatrième ordre, et Ton a

Pour déterminer les quatre constantes arbitraires , il faut avoir égard à l'équation r = o. Plusieurs cas :

!** Si Ton se donne les valeurs de :c, jr, p, q aux deux limites, l'équation r = o est identiquement satisfaite, et on aura

r. = f(^o,c,c',c",c"'), /7, = r(Xo.c, c^c^c-),

a** Si l'une des six quantités ^o» /©»• • m reste arbitraire, p^ par exemple, l'équation r = o se réduit à Q^ == o; on a cinq équations pour déterminer les quatre constantes et la valeur de p^,

3** Si l'on a

on aura do . do . , do ^ do ^ do ^ do ^s

En portant la valeur de 8p^ , tirée de cette équation , dans l'équation r = o, il faudra égaler à o les coefficients de 8x^ , $jr^^ Sp^^

^a:^ et Sx^, On aura dix équations pour déterminer les dix inconnues C, C'y C", C", ^0, Jo, Poi ^n ri» Pi'

776. Cas ou la fonction V contient deux fonctions de x. — contient deux fonctions 7 et z de la variable x. On aura

777 à 779, S'il existe entre 7 et x une relation

F(-»,7, z) = o, on aura

' dz dy

780. Ligne la plus courte entre deux points dans un plan. — La ligne cherchée est une ligne droite.

784 . Ligne la plus courte d'un point a une courbe plane. — La ligne la plus courte entre un point et une courbe est une droite normale à cette courbe,

782. Ligne la plus courte entre deux courbes planes. — La ligne la plus courte entre deux courbes planes est une normale commune aux deux courbes proposées

suite des applications du calcul des variations.

783 et 784. autre manière de résoudre les problèmes précédents. — Au lieu d'appliquer les formules générales, on opère comme il a été expliqué au n** 770.

785. Ligne la plus courte entre deux points , dans l'espace. — Soient .r^, jr^, z^ les coordonnées du premier point, et x,, /,, z, celles du second ,

X=cx-\-C^ z = c'j7-4-C',

équations d*une ligne droite.