Ligne la plus courte sur une surface donnée. — Soit

Inéquation d'une surface courbe; proposons-nous de trouver la

ligne la plus courte AMB que l'on puisse tracer sur cette surface entre deux de ses points A et B.

On a

.dx dx jdz jdy dy ,dz

a —j 7= ri -7- = o , d-~ j-=; rt -7- = o :

ds dF ds ' ds dF ds '

dz dz

ce qui fait trois équations pour déterminer les deux fonctions 7 et z. Mais Tune des dernières équations est une conséquence de l'autre et de réquation de la surface.

788. Les lignes les plus courtes sur une surface sont nommées lignes géodésiques de cette surface : tous leurs plans osculateurs sont normaux à la surface.

Les constantes se détermineront comme dans le problème précédent. Si la ligne cherchée doit aboutir à deux courbes données sur la surface, la courbe AMB les coupera à angle droit.

789. La propriété d'être la ligne la plus courte entre deux points quelconques d'une surface peut n'exister que sur une certaine portion d'une courbe. Sur la sphère, la propriété du minimum appartient seulement aux arcs de grand cercle moindres qu'une demicirconférence.

790. Surface de révolution minimum. — Étant donnés, dans le même plan y deux points k et B, et une droite CD, trouver une courbe AMB, située dans ce plan, et qui y en tournant autour de CD, engendre une surface de révolution dont Paire soit la plus petite possible.

Prenant pour axe des x la droite CD, et pour axe des y une perpendiculaire à cette droite , on a

( x — c* or — c' y.

équation d'une chaînette (574, a°).