Soit, par exemple

y^ z=L axP,

On aura

w { rtj-»-' 4- apxP-^ 7/ ) "*" ^/^•^'''"■' — py^"^ — z=o.

Si Ton élimine a, après avoir multiplié la dernière équation parx, on aura, en divisant parj^"~%

(nx-^pjr^^

ou

m[nx-\-pX — ] -nx^+py = o.

{mpy ^nx)—-\- mnx +/y^ = o,

équation homogène que l'on sait intégrer.

En particulier, si Ton suppose n = p = 1^ c'est-à-dire si Ton demande les trajectoires des droites représentées par Téquation

jr=:ax,

l'équation différentielle sera

m [xdx -\-jrdj-) -\- ydx — xdy'=i o^

divisée par x^-\-y^ et intégrée, elle donne

wl(a:*-h^2j2__arctang- 4- C,

et, en prenant des coordonnées polaires,

/iilr=0-f-C, ou r = e "* = c<?'".

Donc les courbes qui coupent sous le même angle toutes les droites menées par l'origine sont des spirales logarithmiques semblables, ayant cette origine pour point asymp* totique.

519. Le problème des trajectoires se simplifie quand Tangle donné est droit. Dans ce cas, les trajectoires sont dîtes orthogonales^ et Téquation différentielle résulte de l'élimination de a entre les deux équations

F(^,r,«)=o, —dy^ — d^ = o.

Ainsi, dans l'exemple du n^ 518, il faut éliminer a entre les équations

ce qui donne Téquation

"^-^pr^=o.

rix -i- py

dont l'intégrale est

Suivant que n et p seront de même signe ou de signes contraires, cette équation représentera une infinité d'ellipses ou d'hyperboles semblables et concentriques.

Si l'on se proposait de chercher les trajectoires orthogonales des courbes données par l'équation

nx^-hpy^ = Cy

on devrait évidemment retrouver Téquation

^» = axP

dans laquelle a est une constante arbitraire.

56 cou ES d'analyse.

ÉQUATION DU PBEMIER ORDRE ET d'uK DEGRÉ QUELCONQUE. — CAS OU l'équation ne CONTIENT PAS EXPLICITEMENT X ET J^.