Soit ou, en posant
une équation différentielle du premier ordre el d'un degré
dx
dy quelconque par l'apport à —-• S'il est possible de la ré-
soudre par rapport à -—-? on aura une ou plusieurs équations du premier degré que Ton tâchera d'intégrer. 521. Si Téquation se réduit à Y{p) = o,
et qu'on puisse la résoudre par rapport à p^ on aura plusieurs valeurs de /? :
/' = «> /?=ra', /?=a",...;
de là les solutions
^* nr ax -f- C, / = %' x + C, . . . ,
comprises dans l'équation unique
(^-aj: — C)(^ — a'a:-C') ( j— a'^^c — C"). . . =o.
On ne diminue pas la généralité de cette intégrale en admettant que la même constante arbitraire C entre dans tous les facteurs -, Téquation précédente peut alors s'écrire
ou bien
QUARANTE ET UNIÈME LEÇON. 5j
rësullat qu'on obtiendrait encore en éliminant a entre les équations
F(a)=:0, j^ = ax-f-C.
Exemple.
on aura
d'où
ÉQUATIONS QUI NE RENFERMENT PAS l'uNE DES VARIABLES.
522. Supposons maintenant que Téquaiion difTérendélie ne renferme pas j^ et qu'elle soit de la forme
Si l'on peut la résoudre par rapport à -^ et en tirer
on aura y= f /(x) dx, et le problème sera ramené à une quadrature.
Exemples.
On en tire
iijr
ou
^' = ± 1 ^Jaxclx =rzt: - 0? )Jax -i- C,
dx' ^ ' dx
58 coDRs d'analyse.
On déduit de cette équation
dx dy
d'où les deux solutions
X = ax-\-C, y= h C.
523. Si l'équation ne peut pas être résolue par rapport à, p mais qu'on la puisse résoudre par rapport à a:, on aura
d'où
ou
dyz=zpdx—p,df{p]y
(2) y=pf[p)-p{p]dP'^Ci
on aura l'intégrale en éliminant p entre les équations (i)
et (2).
524. Si l'équation différentielle ne contient pas x et qu'on puisse la résoudre par rapport à y^ on aura
f( ^ ^ ^/(a>) rip)dp
d'où
f'ip)
dp -f C.
CAS OU l'équation peut être résolue par rapport A l'une des variables.
525. Si l'équation contient x^j et p, et qu'elle puisse se résoudre par rapport à l'une des variables, jr par exemple, en sorte que l'on ait
yz=zfix,p).
QUARANTE ET UKIÈME LEÇON. 5g
on aura
df df
dx, ou pdx=z — da:-^ — dp.
Si ron peut intégrer cette équation, qui est du premier ordre et du premier degré, la relation cherchée s'obtiendra en éliminant p entre l'équation intégrale et l'équation j=/ (a:, p).
