Toute équation différentielle du premier ordre

dy

~ z=:f[x,y)y ou Mctr 4- N<iy" = o

admet une intégrale contenant une constante arbitraire, c'est-à-dire qu'il existe toujours une équation contenant x^y et une constante arbitraire telle, qu'en la diflerentiant et éliminant la constante, on retrouve l'équation proposée.

En effet, l'intégration de l'équation proposée consiste à trouver une fonction de x, désignée par j-, telle, que sa dérivée soit égale à/* (a:, j), ou, en d'autres termes, telle, qu'en donnant à x l'accroissement infiniment petit dx^ l'accroissement correspondant dj soit égal kf[x^y) dx. Puisque Téqûation différentielle dj=f[x^ y) dx ne détermine que l'accroissement de j^, on peut se donner arbitrairement la valeur de y pour une valeur particulière de X. Si l'on prend y'=^b pour x= a^ f{^i ^) k sera l'accroissement infiniment petit de^ lorsque x passera de la valeur a à une valeur infiniment voisine a -i- A. De même, si l'on pose

a -h h = a''' et b'z= b -^/{a^ b)k, f{a\ A') h sera Taccroissement de y lorsque x passera

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h. En coniinuaut ainsi à faire croître x par degrés insensibles jusqu'à une valeur quelconque, Téquation différentielle déterminera les accroissements successifs de j^, de sorte que la valeur dej^ correspondant à chaque valeur de x sera complètement déterminée, ^ar conséquent y sera une certaine fonction de x^ et celte fonction dépendra nécessairement de la constante arbitraire b j ce qu il fallait démontrer.

IL EXISTE UN FACTEUR PROPRE A RENDRE DIFFÉRENTIELLE EXACTE LE PREMIER MEMBRE d'uNE ÉQUATION DU PREMIER ORDRE.