On vient de démontrer que Téquation différentielle

(i) M^j:-hN^r = o

admet toujours une intégrale contenant une constante arbitraire C. Cette équation intégrale, résolue par rapport à C, prendra la forme (2) u = C,

u étant une fonction de x et j^ qui ne renferme pas C. On tire de Téquation ( a )

du . du , j, -

-p- r/x + — - dy = o, d'où dx dy

Or, Féquation (i) donne ~^ = — — • On doit donc avoir (3) ^ = 1^.

^ ^ du l!i

dy

Cette équation doit être identique, car sMl en était autrement, elle établirait entre les variables une relation en vertu de laquelle/ serait une fonction de x sans con-

du

dy dx~

dx du

df

64 COURS d'analtse.

stante arbitraire, puisque M^N, —? -- n'en contiennent

pa8. Or, à cause de Téquation u= C, / doit dépendre de x et de la constante C.

L'équation (3) peut être mise sous la forme

du du dx dy

en désignant par v chacun de ces quotients. On lire de là

dx-^^""' dy^^ ' donc

rf«=p{M^:r-+-Ne//).

Ainsi, il existe toujours un facteur t^, fonction de x et de y^ propre à rendre le premier membre de V équation une différentielle exacte.

Quand on saura trouver ce facteur et l'intégrale u de la différentielle totale i^ [Mdx ■+- NcÇ;^), ii = C sera l'intégrale de Téquation (i).