TOUTE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE ADMET UNE INTÉGRALE

549. Considérons une équation différentielle de l'ordre m résolue par rapport à la dérivée de Tordre le plus élevé

d'"r rf dy d^Y d'^-^ y\

(*) -d^ =/^^.r> 5i' "Sx^' • -'iL^^) •

Cette équation détermine -- - ou d — — —^ quand on

dY d'"~^ Y

connaît les valeurs de j^, -y-? • • • ? ;%-^ pour une valeur

de X, On peut donc se donner, pour j: = a, des valeurs

arbitraires b. b\ fc", . . . , £('«-*) der, -/,— ^,...5 —l-!/.

•^ d.v dx^ f/wt*""*

Maintenant, si Ton donne à j: un accroissement dx^ les accroissements dej^ et de ses dérivées seront

dy =h' dx, d-f-z=^ b" dx,..., d — ^ = ^.(— t) dx, dx dx

et raccroissement de ^ sera ensuite donné par Téquation (i).

On déterminera de même la valeur de j^ et de ses* dérivées pour j: = a-|- adx^ x = a-hidx, .... Ainsi, les valeurs successives de j* sont déterminées, et, par conséquent, j' dépend de x et des m constantes i, è', . . . ,

5oO. On peut encore établir rexistence de Tinlégrale, au moyen du développement de y en série. En différentiant Féquation (i), on obtiendra successivement

les coefficients différentiels—; -5 — — f*? • • •? en fonction

, dr r/*"-* Y

de ;r, r, -— , . . ., •; : soit

Mais on a (I, 122)

Remplaçant (f (x) parj^, cf (a) par fe,cf' (a) par £',.-•> on aura donc •

Aiw+a

On voit encore que la valeur de j* renferme m constantes arbitraires.

En faisant a = o, on aurait le développement de l'intégrale suivant les puissances ascendantes de x : mais cetle valeur pourrait rendre infinie la fonction, ou quelques-unes de ses dérivées, et le développement deviendrait alors impossible sous cette forme. II vaut donc mieux conserver la série (2) sous sa forme la plus générale, eu choisissant la valeur arbitraire a de telle sorte qu'aucune des fonctions ne soit infinie pour x = a.