Réciproquement, toute équation

l {/ui satisfait à l'équation différentielle donnée, et quiren-

J ferme ni constantes arbitraires au moyen desquelles il

[' • soit possible de donner^ pour a: = a, des valeurs arbi-

[j^ traires i, t', . . . , 6^'""*^ à y -j-? • • m ^^j;; > est identique

F: à Vintégrale générale. En effet, si Ton détermine ainsi

!„ les constantes, on aura encore pour y le développe-

f'. ment (a) puisque, Téqualion (3) satisfaisant à l'équa-

r. tion (i), les valeurs de ^r^, 'd^' ' '^' ' P^"^' x=a,ne

r dépendront que des valeurs i, è', 6", . . . , if'"~*^

k CONDITIONS QUE DOIT REMPLIR UNE ÉQUATION POUR

\ ETRE l'intégrale d'uNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

l DU m**'"* ordre.

^ 552. Pour qu'une équation renfermant m constantes

î ' soit l'intégrale générale d'une équation différentielle du

r rn'^'^' ordre, il faut que ces constantes soient bien dis-

f tinctes, c'est à-dire qu'elles ne puissent se réduire à un

nombre inférieur à m. Par exemple, l'équation

semble contenir deux constantes arbitraires, mais en la mettant sous la forme

on voit qu'elle n'en renferme qu'une : elle ne peut donc pas être l'intégrale générale d'une équation diâerentielle du second ordre.

Pour s'assurer que les constantes renfermées dans l'équation intégrale sont distinctes, il suffira dechercber si elles peuvent être déterminées de telle sorte, que y et ses m — 1 premières dérivées aient des valeurs données

QUARiNTE-QUATttIÈME LEÇOIY. 85

quelconques i, i', . . . , i^'""*^, pour une valeur donnée àx.