Par exemple, soît
(ï) ^==ce«' + c:'<î«'^
on en tire
dx
et en lésolvant ces deux équations par rapporta c et à c\ le dénominateur commun des inconnues sera
Donc, si a est différent de a', les valeurs de c et de c\ correspondantes à des valeurs a, £, b\ attribuées à j:, j
y-j seront finies et déterminées, et dans ce cas l'équation (i) sera l'intégrale générale d'une équation différentielle du second ordre. Il n en est plus ainsi quand a = a', comme on Ta vu dans l'exemple précédent.
55 i. On reconnaîtra de même que
y = csina^ + c'sina'x
est l'intégrale générale d'une équation différentielle du second ordre; mais l'équation
(i) / = csin {x-^a) -|-c'sin(j? -f- a'j-f-c^'sin [x ■+-«*')
ne peut pas être l'intégrale générale d'une équation différentielle du troisième ordre, car on a
(2) -^ = rcos(a:-f-a) -f- c' cos (x -f- a') H-c*cos(a? -f-a"),
(3) ^ = — csm{x -4- a) — c'sîn {x -f- a') — c"sin {x -t- a"j.
Or, il résulte des équations (i) et (3) d'y
et, la valeur de jetant déterminée, on ne peut pas donnei
de valeur arbitraire à -r^* On voit d'ailleurs surTéqua-
tion même, en récrivant sous cette forme
y = (ccosa -h c'cosa' 4- c'' cosa") sinx 4- (c sîna 4- c' sina' + c" sina") cosa:,
X =:A sinx -+- B cosa;,
qu'elle ne renferme que deux constantes arbitraires A et B.
INTÉGRALES DE DIVERS ORDRES d'uNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE.
555. Une équation différentielle de Tordre m a pour intégrale une équation de la forme
Puisque les constantes c, c', . . . , cî'«-*> n'entrent pas dans Téquation différentielle, celle-ci ne peut se déduire de l'équation F = o qu'en la différenliant m fois, et éliminant ces m constantes entre Téquation (i) et les m équations différentielles ainsi obtenues. Or, cette élimination peut se faire de plusieurs manières.
Si d'abord on ne veut éliminer qu'une constante c, on pourra différenlier l'équation F= o, après l'avoir mise préalablement sous telle forme qu'on voudra, puis on éliminera c entre l'équation F = o et sa différentielle. On peut, en particulier, résoudre lequation F = o par rapport à c, soita = c, puis différcntier cette dernière, ce qui fait disparaître la constante. En éliminant ainsi, tour
à tour, chacune des m constantes c, c', c^"*-*^ on
obtient m équations différentielles du premier ordre dont chacune contient seulement m — i constantes. Ces équations sont dites des intégrales de Vordre m—i.
