Pour éliminer deux constantes c et c', on peut

dîfféren lier deux fois de suile Téquation F=o : on a ainsi trois équations

entre lesquelles on éliminera c et c'. On peut aussi éliminer c entre F = o et dF = o, puis éliminer c' entre Péquation ainsi obtenue et sa différentielle. De quelque manière que Ton opère, on doit arriver à la même équation différentielle du second ordre; car si Ton obtenait deux équations distinctes du second ordre, en éliminant

entre elles -7-75 on aurait une équation du premier ordre de la forme

En différentiant m — a fois cette équation, on aurait

dr d"*~-^ r

m — I équations entre J:^, JK5 7- ' ' • * ' ..,,, et m — 2 constantes, c'est-à-dire plus d'équations que d'inconnues. On ne pourrait donc pas se donner les valeurs de y^ dr d"'-^ Y

En éliminant successivement deux des m constantes,

on aura — équations différen tielles du second ordre

contenant chacune m — 2 constantes, et qu'on nomme

intégrales de l'ordre m — 2. Trois intégrales de cet ordre

peuvent remplacer l'intégrale générale, car on la repro-

dr d^ Y duil en éliminant entre elles — et -y-^ •

5d7. On pourra de même éliminer un nombre quelconque de constantes et parvenir ainsi à des intégrales de l'ordre m — 3, de l'ordre m — 4> ^ic. Si l'on élimine toutes les constantes moins une, on aura m équations différen li elles de l'ordre m — i qui serontdites des intégrales du premier ordre. Si entre ces m équations on élimine les

m — I dérivées -^j -^j • • • > ^^ J, > on retrouvera l'équation primitive F = o entre ar,j^, c, c',.-? c^'"""*\ Il suffira donc, pour intégrer Téquation

d'avoir les m équations intégrales du premier ordre.

558. Les intégrales du premier ordre permettent de déterminer les constantes c, c', . • • ^ c^*^^^^ en fonction

dY d^^"^ Y

de X, y^ -^> • • • > — — :^' En les résolvant par rapport

aux constantes et en désignant, pour abréger, les dérivées de j psLV y, y\,..<ij^"'''^^^ on aura m équations de la forme

c = t[x, /, r ', . . . , r ^'""'^] = «; d'où

du du , du ,, du d'^Y

djc dy dy' dy^'"-'^ dx'"

Mais

on aura donc ^^ du du , du „ du ..

Cette équation doit être identique, car autrement elle établirait une relation entre x^y^y' y . . . , J^^'"■"*^ et l'on ne pourrait plus se donner les valeurs dej^,^', . . . , j^^"*~*^ pour j: = a.

Ainsi, les équations du premier ordre étant mises sous la forme

Il = f , n,^=z c\ tfj = c", . . . ,

toutes les fonctions u, i^j , . . . , satisfont à une même équation aux dérivées partielles.

QUARAKTE-QUi.TEIÈME LEÇCIf. 89

IfiTÉGRÀTION DE L ÉQUATION -7-^ = •>.

ax"*

559. Soîl propose d'intégrer Téquation V étant une fonction de x. On en déduit

dx'

^z= jpdx^c,

^ = I djr j vdx -f- cj: -i- f ,

^ z=z idx \d.x i çdx -f- cj:*-4- c'jt -h c^,

et ainsi de suite. Donc, si Ton désigne en général par ■ vdx'' l'intégrale ï dx l dx, . . / \fdx qui résulte de n intégrations successives par rapport à a:, on aura

(2) yziz I <^cLc"-t-ca:'"~^ +c'j:'"-»-h •• • -hcC"-*).

560. L'îniégrale multiple qui entre dans la valeur de j peut s'exprimer à Taide d'un certain nombre d'intégrales simples. En effet, l'intégration par parties donne successivement

1 dx j vdx :=zx j fidx — j vxdx,

I çdx^ = Ix^ I vdx — 2x f çxdx •+- j PX^dxU

j vdx*= r (•'*'/ f^dx — 3** I vxdx

-+- 3x # va^dx — 1 ux*dx\%

go COURS d'analyse.

et ainsi de suite; d'où l'on conclut, par induction,

il i>dx"z=i I x""* 1 vdx — (n — i)x"""= 1 vxdx J i.2...(7i~i)L J ' ' J

Pour établir la généralité de cette formule, il suffit de montrer que si elle est vraie pour une intégrale de Tordre n, elle conviendra encore à une intégrale de l'ordre 72 H- i. Or, on peut mettre l'équation (3) sous cette forme

/pdx"= nx"-^ 1 i>dx — n(n — i) x"~^ 1 çxdx I,2.../î| J J

-\ ^ i x«-=» / vx^dx ±n j t^x'^-'dx .

Multipliant les deux membres par dx, et intégrant par parties, il vient

/pdx'*-^^ z= x** I vdx — /ij;"~» 1 çxdx 1.1.., ni J J

Mais