L 1.2 JJ

I — TU .dz7î=(i — i)'»±i=±:i:

donc

/çdx^"^^ =. x" I tfdx — nx"^^ 1 vxdx I.2.../îL-J J

rt{n—\) r , r . 1

-i L ^1-2 I ,»x'é/.r + . . . q= I f^x"dr U

ce qui établit la généralité de la formule (3).

561 • Enfin, l'intégrale multiplt; j s/dx"" peut s'expri-

QUARÀMTE-QUÀTRIEME LEÇON. 9I

mer par une seule intégrale simple. En effet, donnons aux intégrales qui entrent dans l'égalité (3) les limites a et X 5 posons ^ =zf[x)^ et, dans le second membre, remplaçons X par z sous le signe i : nous aurons

OU bien, en faisant passer les facteurs constants sous le signe 1 , et remplaçant la somme des intégrales par une intégrale unique,

Ja 1.2. .. ^/I ^) J a

562. Cette dernière formule conduit à une nouvelle démonstration de la série de Taylor. En remplaçanty*(x) par la dérivée y f''+*^ (j:), et n par n -f- 1, on aura

\ /(''+') {x) da:"+' = ^- f /("+'^ (z) {x — zydz.

D'un autre côté,

f /(-+') {x)dx^-^'=/{x) ^f[a)—f[a)[x-a)

donc

et, si Ion pose a: = a -f- A, et z = a -h A — /,

QUAKANTIS-CÏNQUIÈME LEÇON. gi