DÉFINITION

578. On appelle équations linéaires les équations dîfférenlielles dans lesquelles la fonction cherchée et ses dérivées n'entrent qu'au prei?iier degré, et ne sont pas multipliées entre elles.

Leur forme générale est

P, Q, . . . , T, U, V désignant des fonctions de x.

PROPRIÉTÉS DES ÊQUATtOKS LINÉAIRES PRIVÉES DE SECOND MEMBRE.

S79. Nous considérerons d'abord Téquation privée de second membre

Si des fonctions particulières Jx^Jt i-'-» fn satisfont à cette équation, la somme de ces fonctions, et même la somme des produits de ces fonctions par des constantes quelconques Cj, c,, . . .^ c„^y satisfera également.

^fr

108 coums d'abaltsk.

En effet, sî Ton pose

en aura

dy djTx dYj ^ ^ dy„

d-r iLr dx d.r

-d^ = '^-d^-^'^li^^'-^^''^d^^

La subsiîtution de ces valeurs dans l'équation (II) lui fait prendre la forme

l^i^Xx ^ d'-'y\ ^ dfx ,, \

\ajr db:^' djc -^^ j

\djcr'* tlif'-' dr "^ /

Or, chacune des parenlhèses étant nulle par hypothèse, réquation se trouvera satisfaite. Cette propriété n'appartient qu'à l'équation privée de second membre.

580. II suit de là que si Von connaît m solutions par^ fictilières de V équation (II), on aura r intégrale générale en posant

pourvu que Von puisse déterminer les constantes de ma-

dy d'"~* Y nière à donner à r, -r- v» — des valeurs arbitraires

^ ' dx djcT"-'

pour une valeur quelconque de x {y^ 552).

Ces conditions ne pourraient pas êire remplies s il existait une relation linéaire entre quelques-unes des fonctionsj^t» J^«î« • • jj^m» Par exemple» si l'on avait

y^ = ay,'^hy^y on aurait

r = (^1 -^ f^c%)rx + {ct + hc^)y^ -f. ^4^4 4-, . . + c^y^.

QCJARAATE-SIXIÈVEE LEÇON. IO9

Cl cette expression, ne renfermant que m — i constantes arbitraires, puisque Cj -j- ac^ et c, -i- bc^ ne doivent compter que pour deux constantes, ne peut pas être Tintégrale générale de l'équation (II).

581 . L^équation linéaire étant homogène par rapport à j^ et à ses dérivées, on peut en abaisser Tordre d'une unité, en posant y = e^"**' (575) ; maïs elle cesse d'être linéaire. Elle prend alors la forme

(M) -T-^ + . . . + (tt"-h P«'"- -h Qw—' -I-. . . + U) =r O.

Cette équation est plus compliquée que la proposée, mais elle fait découvrir plus facilement certaines înté* grales particulières. Ainsi, quand une valeur u = r, indépendante de x^ annule le polynôme

(i) «•"+Pa"-' + Qa'"-* + ... + U =/(«),

réquation (III) est satisfaite par u = r, car les dérivées

du d^ u d'^^ii ,, / 1»^

—j ^-^? • • • j ^ sont nulles : par conséquent 1 équation (II) est satisfaite par j^ = ceS"^' = ce**'.