ÉQUATIONS LINÉAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS

582. Dans le cas où P, Q,..., T, U sont des constantes, l'équation y*( m) == o n'admet que des racines constantes Tt, r,,..., r,„. En les supposant toutes différentes, on aura m solutions particulières e*"»', e**»', . . ., e**!»', et l'intégrale générale sera

Pour le démontrer il suffit de faire voir qu'on peut déterminer les constantes Cj, Cj,. . ., c„^ de manière que, pour une certaine valeur de x, par exemple jc := o, la fonction j et ses m — i premières dérivées aient des valeurs arbitraires i, i',. . ., i^"~*^ En effet, de léqua*

IlO COURS D AJMÀLTSE.

lion (2) on lire

(3) ~- =r C, Ti ^«* -f. c, rai?^«* -h . . . -f- C;„ To, e'm',

et, par conséquent, en faisant a: = o dans les équations, (2), (3), (4),. . .5 on aura

^1 4- ^î "h Ca -f- . . . + c« = ô,

Multiplions ces équations respectivemenlparA,/:',À ",.••» }^{m-~f) et I, et ajoutons-les : en posant

A- -+■ A' r -f- A-"r2 + . . . + Ac»-») /-^-^ -h /"-• = y (r),

on aura

fiç(/-|)H-^2<p(rO -1-.. .H-c„ç(r;„)

= xzî 4- A'^' -f- r ô'' + . . . -f- ^(—0.

On éliminera c,, Cj, . . . , c„, en prenant pour y (r) une fonction telle, que ç(r,), ^(rs),. . ., cp (r„ ), soient nulles, mais que <p(ri) soit difierente de zéro. Ces conditions seront remplies si Ton pose

d'où

et

^(«-0 -f. . . . + x'' b'' H- A' ^' -f- Ab

On aurait de même Cj, Ca, . . . , c,,.. Toutes ces cocstanies

ont des valeurs finies et déterminées, puisque /' (7*1), /'(r,),. . .,/'(/',„) ne sont pas nulles (*).

Si l'on donne les valeurs i, i',. . ., &'"""% dejr et de ses dérivées pour jî=: a, on remplacera, dans l'équation (2)^ X par [x — a) sans changer les constantes, car l'intégrale (2) peut évidemment s'écrire

En prenant ensuite les dérivées et faisant x = a^ on retrouvera les mêmes équations (C) pour déterminer Ci,

Exemple.

On a

et

X = ei e"' -f' Cj c-'*.