H COURS D ANALYSE
L'intégrale définie u ne dépend plus dex, mais elle est une fonction des limites a et fc, et l'on peut se proposer de la différentier par rapport à Tune ou à Tautre de ces limites. On y parvient aisément sans effectuer Tintégration. En effet, de l'égalité
on déduit
5; = -^("^' et puisque ç' (x) =y(a;), du
da
449. Si a et i^ sont des fonctions d'une certaine variable f, indépendante de x, en désignant par du la différentielle totale de u considérée comme fonction de la variable indépendante «, on aura (I, 46) [*]
du , du ,, du =: —- da -h -rrr do .
da do
<ît, par conséquent,
(2) du= — /{a)da-\-/(b)db.
On obtiendra du en fonction de t en remplaçant dans cette formule «, i, da^ db^ par leurs valeur^ en fonction de t.
Interprétation géométrique*
Soit
r équation en coordonnées rectangulaires de la courbe CD' :
rintégrale définie
Fig. io5.
c eu
«^jT f{x)
dx
[*] (I, 46) indique un renvoi au n® 46 du premier Tolume. Les renvois au second volume seront simplement indiqués par le numéro du paragraphe.
TREMTE-SEPTIÈME LEÇON. 3
représente Taire ABCD. Donnons aux limites a et b les accroissements infiniment petits
AA' =:da, BW=db:
on aura
A'CD'W =zu-\-da et
du = — AA'C'C + BB'D'D.
Or, on peut remplacer AA'C'C et BB'D'D par les rectangles ACEA' et BDFB' qui n en diffèrent que de quantités infiniment petites du second ordre (I^ 17); on aura
donc
AA'aC=/{a)da, BB'D'D =/(b) db,
et, par suite,
du = —f [a)da -Jr f {b)db.
DIFFÉBENTIATION d'uWE INTÉGRALE DÉFINIE PAR. RAPPORT A UN PARAMETRE QUELCONQUE.
4SI. Supposons que la fonction placée sous le signe / dépende d'une variable f, autre que ar, et soit
«= / f{xy t)dx.
Si les limites a et i sont indépendantes de f, on aura, pour Taccroissement A£ donné à f,
d'où
Au=z I /[jp, t'hM)dX'- I /{x,t)da:
par suite,
et, si Ton fait décroître indéfiniment A/, on aura, à la limite.
du dt
dfiœ, t)
dt
dx»
452. Quand a et b dépendent de t, du désignant la différentielle totale de m, et —, —, -^ les dérivées partielles
de cette fonction, on a
du du „ du .
du =1 -- da -j- -—- db -i r//,
aa do at
Mais (448, 451 )
donc
(4) du = -^f{a,t)da-^f{b,t)db + dt C^ilS^dx.
Ja ^^
Interprétation géométrique.
4S3. Soit CD la courbe dont l'équation est, en coor- ^'S- '°^* ^ / données rectangulaires,
V jr=f{:c,t).
- K Si OA = a, OB = i, on aura
« = / /(a:, /) r7^ r= aire ACDC.
^ ^' ^ Donnons à f raccroissement infiniment petit dt \ a et b qui sont des fonctions de t reçoivent des accroissements AA'= rfû, BW=db, En même temps la courbe CD se change en une autre courbe EH infiniment voisine, et l'on a
Mais
f[xyt-^ dt)dx-=z aire A.' GQB'.
-^da
aire A'GHB' = AEFB — AEGA' -h BFQB' ;
TTIENTE-SEPTIEME LEÇON. 5
donc
du = A'GHB'— ACDB =z (AKFB — ACDB) — AEG A'H- BFHB',
ou, en négligeant des infiniment petits du second ordre,
Xb pb
/(x, t-h dt) dx— i f [xy t) dx Ja
— f[a,t)da-^/[b, t)dbi
et enfin
du = dt C ^I^2Adx--f[a,t)da^f[byt)db.
DIFFÉRER TIATION d'uNE INTÉGRALE INDÉFINIE, PAR RAPPORT A UN PARAMÈTRE VARIABLE.
454. Soit u rintégrale indéfinie de f[x^ t) dx^ dans laquelle / désigne un paramètre variable qui ne dépend pas de a: 5 on peut, sans rien ôter à la généralité de cette intégrale, l'écrire sousk forme
u= i f[x, t)dx + -^{t),
Ja
^ [t) étant une fonction arbitraire de t. Différentions mainlenant par rapport à t, en supposant que t ne dépende pas de a : nous aurons (451 )
mais comme ^p' (t) est une constante par rapport à x^ le second membre i Ton peut écrire
second membre revient à l'intégrale indéfinie de — - Jx, et
de
Ainsi, pour différentier une intégrale indéfinie ^ par rappo/t à un paramètre ^variable, il sujffit de différent
6 GOUAS d'analyse.
tierj par rapport à ce paramètre j la fonction placée sous
le signe j •
