Lorsque Téquation

QUATANTE SIXIÈME LEÇO». Il3

a des racines égales, les termes correspondants à ces racines dans la formule

(^) 7 = c, e**»' -h Ci <y'«' H- . . . -f-c„ e^»^'

se confondent en un seul, et on n'a plus Tintégrale générale» puisque le nombre des constantes arbitraires est inférieur à m. On peut cependant déduire de cette même formule rinlégrale générale en considérant d'abord les racines comme ayant une différence qu'on rend nulle après avoir fait subir à l'expression une transformation convenable.

Pour faire comprendre ce procédé par un exemple irès-

afdx = — -- — h C, qui devient illusoire quand m = — i . Posons m = — i -I- A -, nous aurons

Mais

«*= I + /uxH (Ij

donc

el, en représentant C H- t par c,

Donc, si Ton fait A = o, on aura

= la: + c.

586. Revenons maintenant aux équations linéaires, et supposons ri = ri. On peut altérer infiniment peu les coefficients de l'équation (II), n^ 579, -^e manière que Stcbm.— -.^/î., II. 8

ii4 COURS d'analyse.

l'équation (i) f(u) = o n'ait plus de racines égales. Alors

on a Tj = rj 4- A, et

j = C, ^» * -+- C, e^» '+''* 4- ^3 tf'-"' -H . . . -h c^ ^/"*, ou

(C. 4- Ca 4- Ci^or 4- C, — J;» 4- . . . ]

= e"^' f C, 4- Ca 4- C, i^ar 4- C,

OU bien, en posant

C, 4-C, = c, C2/i = c', on aura

celte valeur de y satisfait à Téquation différentielle quel que soit h. Donc, en faisant h = Oy on aura

(3) jr=^»*(c + ^J:)4-C3C'>'4-...4-r«c'«',

expression qui renferme m constantes arbitraires distinctes quand /'i, r^, r4,. . ., r,„ sont des racines différentes.

Quand trois racines sont égales, on suppose d'abord l'équation modiflée de manière que deux racines seulement soient égales, ce qui donne à l'intégrale la forme

jr = c»' (C 4- Cx) 4- C3 e'»'-h C4 c'*' 4- . . . 4- C« e^'n*.

Puis, supposant r^ = ri 4- A, on aura

j^=r^''"rC4-C3 4-(C'4-C3A)ar4-^^»4--^^a:*4-...l

4- Ci e''**4-. . . 4- c^»!?*"»'', ou, en posant C 4- C, = c, C'4- C» A = c', — == c",

équation qui devient, pour A = o,

(4) jr = ^.*(c4-c';tr4-c"a:') 4-c,tf'**4-.. .4-c«c"^'.

QUARAMTE-SIXIÈME LEÇON. n5

On trouverait, de la même manière, que si la racine 7\ était quadruple, il faudrait remplacer les termes qui s'j rapportent par

expression qui renferme quatre constantes arbitraires.