DEUXIÈME MÉTHODE

587. Lemme. u et i^ étant des fonctions de a:, si Ton cherche les différentielles successives de iii^, on arrive par induction à la formule

1,1 OU à la formule symbolique

en remplaçant dans le développement du second membre les exposants des puissances par des indices de différenlialion, et en admettant que d^u = u.

Pour faire voir que cette formule est générale, il suflSt démontrer que, si elle est vraie pour l'indice w, elle est encore vraie pour l'indice n -I- 1 . En effet, soit A d^u d'^^P m un terme quelconque du développement de /i"Mf^. On aura

d"mz=zy k àPud'-P V,

De là on tire

rf»-»-« m = V ( k dP^'u d^^-P i>-{-k dPu d^-P-^^ p),

OU, sous une forme symbolique,

d^'uoz=\ kduPdi^P{du 4- dy)=:[du -|- dv)y kduPdi^-P.

Mais, par hypothèse,

y k duPdp'^P = ( //a 4- dç)(^> ;

H^'ÎÇ-KV'^Vif^.'l

Il6 COURS d'anal YSE%

on aura donc

£?"+• Ui^=(du-h dç){du -4- dvp^ = {du + é/aJC^+O,

ce qu^il fallait démontrer. On démontrerait de la même manière la formule plus générale

d"{uv., .z)= (du -h dç -h , , .-^ dz^).