Revenons à Féqualion

Remplaçons j^ par «p». L'équation, ordonnée par rapport à la fonction u et à ses dérivées, deviendra

fd'"v rf^-'p d"'-^^ ^dv , \

\dx"* dj:"'-' ^ dx'^-^ dx )

I r d'^-'v , , ^ d"'-^v ^'\du

1 L dx""-^ ^ ûtr"*-2 J dj.

r d"'"^v d"'-'^tf „1<^'*

Digiti

^mm

OU bien

, , ^, „ du Vs d'u V« d'"ii

^^ ' ^ ' dx^ 1,1 dx^ ^ 1.2.3. ..iWrf^" '

CD posant

dx"" daf^^ ^ dx""-^ dx

^-C"-' ^ ' dx"'-^ ^ '^ dx"

V,=:/ii- h (/n — i)p- f- (w — 2 Q- --{-...-hTr,

V,=: ;«(«- I) ^ +(;;i -,)(,;,- 2) P—^+... + I.2.Sp,

Le développement (2) est analogue à celui d^une fonction de X dans laquelle on remplace x par j: -i- A ; car on voit que les polynômes Vq, Vj, Vs, . . .*, V« se déduisent

du polynôme

p« + Pp— 1 4. . . . l Ti; -f- U

et de ses dérivées, en remplaçant >*"•, i''""*, . . . , f^, i^^ par ;

dI^'Z^'''"^di'^' )

S90. Maintenant, si Ton pose u = e"^ et que Ton supprime le facteur commun e**', l'équation (2) prendra ;^

la forme *

(3) /(r> +/'(r) -nrir) -+...+ =0. .^

/(r) désignant, comme plus haut, le polynôme J;;

,.«4 P;-»-»-l Q,.m-2^^ . . + Tr+ U. •!

De là résultent les conséquences suivantes : !j

1° Si ri est racine simple de Téqualion ^

Ar) = o,

on satisfera à l'équation (3) en faisant J

Cl désignant une constante ; d'où j^ = Ci e*"''. ik

Donc, si toutes les racines sont inégales, on aura m lu- 0|

ï^çpt.J^ffT'-T*^'^^'^

l ii8 couBs d'analyse.

\[ tégrales particulières contenant chacune une constante

^; arbitraire, et dont la somme formera l'intégrale générale.

2^ Si Tt est une racine double, /(ri), /'(Ti) seront nulles, et l'on satisfera à l'équation (3) en posant

d'où

3® Si ri est racine triple, /(rj ),/'(/',), /''(r^) seront nulles, et l'on satisfera à l'équation en faisant

d'où

j — c*"' '(<?-!- c'a: -f- c'^j?'), et ainsi de suite.