Exemple
Ici m = 2, Ti = w, r, == — n. L'intégrale générale sera donc
Y = e"* ( c, -\- — ive'-'*'d.r\ -+- er"' (c, î- / V^^'^-r j .
597. Si l'on connaît seulement m — i intégrales particulières de l'équation (II) (n° 594), il sera possible de ramener l'intégration de l'équation (I) à celle d'une équation linéaire et du premier ordre.
En effet, supposons, pour simplifier, que l'on ait à intégrer l'équation de quatrième ordre
et que l'on connaisse trois intégrales ji,j't,j^8 de l'équation privée du second membre
On représentera encore l'intégrale générale de l'équation (I) par
Cl, Cj, Cs étant trois fonctions de x qui, n'ayant à rem-
ia8 COURS d'analyse.
plir qu'une condition, peuvent être assujetties à yërifier
deux relations arbitraires.
Si nous prenons ces relations de telle sorte que les
expressions de — et de -r^ soient les mêmes que si C|,
Ct et Cs étaient des constantes, nous aurons
-7- = C, -j- H- Ca -r- + ta -7- j cijc ax ax cLx
d^y ^ d\r, d^x, d'jr^
tiH-^C^^ -^^^^-u ^±Il±^\^ dx* ~^ ' dx* dx dx^ dx^ dx»
En substituant ces valeurs dans l'équation (I), et supprimant les termes qui se détruisent par hypothèse, nous aurons
et il faudra joindre à cette équation les deux suivantes : dCi dCi dCi
^ d.v dx dx dx dx dx
De ces deux équations, on tirera pour —' et — ' des valeurs de la forme
dCj dCy^ dC^ ^Ci
dx ^ dx dx ^ dx
En les substituant à -j^t —r^ dans l'équation (i), on obtiendra, en posaixt — ' = z, une équation linéaire de U
QUÂRANTB-SEPTlkMB LEÇON. I^P
forme
dz
on aura de plus
C, = r, -f- / zdjc,
C, = Cj + / XiZftx, C3 = Ta 4- I X3 zdx.
La valeur de z contenant déjà une constante arbitraire, la valeur de y ou Ciji -+• C^j-^ -+• C^y^ en contiendra quatre. Ce sera donc l'intégrale générale.
598. Si Ton ne connaissait que m — 2 intégrales particulières de Téquation (II) (594), on serait ramené à Tintégration d'une équation linéaire du second ordre. En effet, soient y^ et y^ les intégrales connues de l'équation (II) (597) supposée du quatrième ordre, et représentons par
l'intégrale cherchée ; comme on ne peut établir entre Ci
et Cj qu'une seule relation arbitraire, exprimons que --f-
a la même forme que si C] et Cg étaient des constantes.
Les fonctions Ci et C^ seront déterminées parles équations
dCt , dCi
G, H, ... , étant des fonctions de x. De la première on
déduira -7-^ = Xj -7-' > et substituant dans la seconde, on dx dx ^'
aura une équation où Ci n'entrera que par ses dérivées
rfC, rf'C, d'C^ ., dC, , .
•^i -jjT-j -j^' Alors, en posant — = z, cette équation
prendra la forme
d^z dz
d^'^Pdi-^'^' = ''*
Sturm.— .^/i., IL
i3o GovRs d'analyse.
Cette dernière équation étant intégrée, on aura
et ensuite
Comme z renferme deux constantes arbitraires, on voit bien que Cjj^i -r Cj ja en contiendra quatre.
599. En général, si l'on connaît n intégrales distinctes de r équation linéaire pris^ée de second membre^ on pourra ramener Véquation complète à une équation linéaire du [m — w )**'"'' ordre.
La démonstration de ce théorème général est suffisamment indiquée par ce qui précède : c'est pourquoi nous nous bornerons à examiner le cas particulier où l'on ne connaît qu'une seule intégrale ^i de Téquation (II). Nous poserons alors
et, en exprimant que cette valeur de y est une solution de l'équation (I), nous aurons
les nouveaux coeSicients Pj,. . ., Tj se formant comme on l'a dit n^ 589. En posant
dC, ■^==">
l'équation (i) se réduit à
, , c?"-'// ^ d'"-^ri ^
équation différentielle de l'ordre m — i. Ainsi, Tordre de l'équation proposée sera abaissé d'une unité. L'équa-
QUABANTE-SKPTIÈME LEÇOW. l3l
tion (2 j étant intégrée, on aura
et, par suite,
y^ay, H- 7, / udx,
La valeur de u contenant (m — i) constantes arbitraires, celle de/ en contiendra rn\ ce sera donc Fintégrale générale.
