AUTRE MÉTHODE
600. Le cas particulier que nous venons d'examiner permet de démontrer le théorème général énoncé plus haut (599), et fournit une autre méthode pour abaisser Tordre d'une équation linéaire. En effet, appliquons le même procédé à l'équation
Soit 1/1 une solution particulière de l'équation
En faisant
tft
z dépendra d'une équation linéaire de l'ordre m — a,
et Ton aura
et, par suite,
y=zay,-i- by^ j w, dœ +71 / «, ctc / zdx,
i3a COURS d'analyse, ^
ou
en faisant
La fonction désignée ici par j^, satisfait à Téquation (3) S + P^^>...+ U. = «,
car si Ton suppose V nulle, on peut prendre z = o, et par conséquent Ç = o, ce qui réduit y à aji -H ^t> expression dont j'j est une valeur particulière.
Réciproquement ^on trouvera une fonction telle que Wi, si Ton connaît une fonction j^,, différente dej^i, qui satisfasse à l'équation (3). Il suffira, en effet, de prendre
dx
dL
puisque u = -j-^ se change en u^ si V = o, et qu'alors
y^ est une valeur particulière de j*.
L'équation en z étant de l'ordre m — a, on cherchera une valeur Z] qui satisfasse à l'équation
(4) -; HPj -7 r -4-. ..-f-StS^o,
et l'on aura
en faisan^t f === — r-î- ? d'où
j^s étant encore une solution particulière de l'équation (3), et ainsi de suite.
QUAHANTE-SEPTIÈME LEÇON. l33
On pourra donc abaisser rordre de Téquatîon (I) (594) d'autant d^unîtés qu'on connaîtra de solutions particulières de Téquatiou (3), et l'intégrale générale de l'équation (I) sera de la forme
i étant une solution quelconque de l'équation (I).
L'équation linéaire n'admet pas de solution singulière, paîsque la solution quelconques^ = X se déduit de rimégrale générale en faisant nulles les constantes a, &,... /.
DE QUELQUES CAS OU l'oW PEUT INTÉGRER l'ÉQUATION LINÉAIRE A SECOND MEMBRE.
601 Si dans l'équation
P, Q,.,., U, V sont des constantes, on fera 2^ = — - -h z,
et on aura
d'^z ^d'^-^z ^dz
-jiz'^^znn'^'"-^ T — 4-u« = o,
éhf* dx^"^ dx
équation que Ton sait intégrer.
602. Les coefficients du premier membre de Téquatîoii (1) étant supposés constants, si V est une fonction entière de x^
A x" -f- Bx«-» -f- . . . + G« -H H , on posera
et l'on déterminera a^b^.,.^ g^h^ en exprimant que cette valeur satisfait à l'équation proposée, ce qui formera autant d'équations qu'il y a d'inconnues. Une première intégrale étant ainsi obtenue, on posera j =: a -f- 1', et f^ ne dépendra que d'une équation linéaire à coefficients constants, et privée de second membre.
i34 couBs d'analyse.
