Sî

V = A cosnx -f- B sin nx ,

A et 6 étant des constantes, ainsi que les coefficients du premier membre de l'équation (i), on fera

yz= a cosriJT -+■ b sin nx ,

ce qui réduit l'équation (i) à

(^G + bU) cosnx -h (/iK+ ^L) sin/?.r = \cosnx + Bsin/ix,

G, H, K, L étant des fondions de n et des coefficients de

Téquation. Pour que Téquation soit satisfaite, il faudra

qu'on ait

rïG-f- ^11 = A, aK-f-ôL = B,

ce qui détermine a ci fc, à moins que GL — HK ne soit nul. L'intégrale générale sera

jr = a cosnx -h b sin nx -\- z y

z étant rintégrale générale de Téquation

d'^z ' ^ d'^'^z „ dz

604. La métliode précédente est en défaut lorsque GL — HK= o. Dans ce cas, l'intégrale doit avoir une autre forme qu'on trouve par un artifice de calcul dont voici un ei^emple. Soit Téquation

on ne peut y satisfaire en posant

jr = a cosj: -f- b sinjr, car on trouverait

— a cos j: — b sîno? + a cosj? -4- ^ sînx = cos^,

ou

o = cosar,

équation qu'il est impossible de rendre identique.

QUARANTE-SEPTIÈME LEÇON. l35

. Mais si l'on prend Téquation plus générale

(2) l-r = cos/zx,

en posant j =z a cosnx H- b sin/za:, on a

a[i — n^) cosnx -{- b{i — n^) sinna: z= cosna:^ d'où

1 — /I-* ce qui donne la solution particulière

cosnx

D'ailleurs, l'intégrale générale de Téquation

est (584)

^ = C cosjrr -t- C sin.r ;

la valeur générale de j^ sera donc

co%nx ^ ,,, .

Y =2 1- C cosa: 4- C sino:.

Celte valeur deviendrait illusoire si l'on faisait n=^i'^

mais on peut écrire, en posant C = C j?

cosnx — cos.r ^ -, .

Faisant n = i, le premier terme prend la forme -?

mais sa vraie valeur est ; donc l'intégrale générale

de l'équation (i) est

jîsinj: ^, . ^„

Y z= h c sin.r + C" cosa:.