L'équation

g:^p^+...^ur=v

le ramène au cas précédent (603) quand on a

V= Acos/îa? 4- Bsinnjc -+■ A'cos/î'x -f-B' sin/i'x -f-. .^ . En posant j^ = u + i/' + « • • > il suffit de satisfaire sépa*

QT7ABANTE-SEPTIÈME LEÇON. lij

rément ann équations

-— - + P-- -4-. . . 4- Ua'= A'cos/i'o: -h B'sin/î'x.

607. On ne saîl que très-rarement intégrer une équation linéaire à coefficients variables. Voici un exemple où l'intégration peut s'achever.

Soit Féquation

(ûx + ô V» — ^ H- P («x ^- ^)"*-' -—-V 4- • • •

-f- T(ajî -i- ^) ^ -i- Uj = o,

P, Q,. . . , T, U étant des constantes.

Posons j^= (ûX4- hY\ substituons cette valeur dans l'équation (i), et supprimons le facteur [ax 4- h^ commun à tous les termes f nous aurons

Cette équation, étant du degré /n, donnera, en général, m valeurs constantes et inégales pour r; en les désignant parr,,r,,...,/'„„ les expressions {ax-^-hy^^ (ax 4- &)'"*,..., (ax4- i)'''" seront des solutions particulières de l'équation (i), d'où l'on déduira l'intégrale générale

7 = C, {ax 4-^)'"« 4- C, {ax -h hy* + . . . + C;„ («a: 4. ^)r„,.

Toutefois, la forme de cette intégrale serait modifiée si quelques-unes des racines étaient égales ou imaginaires. 11 faudrait alors se servir de procédés analogues à ceux que Ton a employés aux n°» 604 et 605.

Au reste, on ramènerait l'équation (1) à une équation lÎDéaîre à coefficients constants en posant ûj: 4- i = c*.

l38 COURS 1>' ANALYSE.

PROPRIÉTÉS DE l'ÉQUATION DU SECOND ORDRE.

608. Quand on connaît une intégrale particulière jj de Téquation

les procédés des n®* 597 à 600 permettent de l'abaisser au premier ordre, et, par suite, de l'intégrer complètement.

On peut encore opérer de la manière suivante.

On a, par hypothèse,

Éliminant Q entre les équations (i) et (a), il vient

et, en posant

dy dYx „ , d^y d^ yx du

I r\ du „

l'équation (3) devient

d'où, en intégrant, On aura donc

ou

V ^ Ce-f^'^'da:

et enfin,

(6) ^:^C'JH-Cj.j — p

QUARANTE-SEPTIÈME LEÇON. iSp

609. L'équalîon (5) fait connaître plusieurs propriétés de Téqualion

(i) f[!ZH-p*:.+.Q^^o.

La constante C n'étant pas nulle, en général, supposons C ^ o : on aura

par conséquent, la fonction y et sa dérivée -j- ne peuvent

pas être nulles en même temps.

dy La même propriété appartient aux fonctions j^ et — ^•

Deux valeurs de x qui annulent y^ comprennent une valeur de x qui annule y. En effet, si y^ s'annule pour z = a et pour a:= fe, on a dans ces deux cas, d'après l'inégalité (7),

Ainsi, j^ et ~ sont de signes contraires*, mais quand x

dy croît de a à &, -—-^ change de signe pour une certaine valeur j:= «5 donc y doit aussi changer de signe avant que x ne devienne égal à h. Par conséquent, la fonction j^ s'évanouit pour une valeur de x comprise entre a et i.

De même, entre deux valeurs de x qui annulent y^ se trouve une valeur qui annule y s,.

Il suit de là que si l'on fait croître a:, les deux fonctions y et y^ s'annuleront, l'une après l'autre, alternativement. C'est ce qu'on peut vérifier sur l'équation

qui a pour intégrale

r = C sina: -4- C cosx.

EXERCICES

SoLPnoN :

r=Ce'-hC'e-*--xe-'.

;sî+3^+»-^-(.+x)

Solution :

QtJARAWTE-HUITlÈME LEÇON. l4l