DÉVELOPPEMENT PAR LA SÉRIE DE MACLAUUIN

610. Étant donnée une équation entre y et quelquesunes de ses dérivées par rapport à j:, on peut, comme on l'a vu (550), développer j^ en série procédant suivant les puissances ascendantes de x — ^i, et ce développement contient m constantes arbitraires, qui sont les valeurs de y et de ses w — i premières dérivées pour x = a. En faisant a = o, on obtient une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de x. Mais il peut arriver que certaines dérivées devenant infinies pour x = o, la série soit en défaut^ à moins qu'on n'attribue des valeurs convenables à d'autres dérivées qui ne sont plus arbitraires. Dans ce cas, la série contenant moins de m constantes arbitraires ne représente plus l'intégrale générale, mais seulement une intégrale particulière.

En voici un exemple. Soit

X — '■ — h 2 -- — h n^xY = o.

dx"^ dx

En difTérentiant cette équation plusieurs fois, on aura

da? dx^ dx

d*Y ,d^y ^ d^r , tiy

dx^ dx* dx^ dx^

l4a COURS d'aî^alyse.

La loi de formation est évidente. Or, si dans Tëquation

proposée on fait a: = o, j = è, — = 4', il en résultera

--— =zQo y k moins que i' ne soît nul. Il faut donc faire

~- = o pour x = Oy et alors les équations dérivées suivantes donnent

et, par conséquent,

•^ \ 1.2.3 1.2.3.4.5 / njc

OU, en faisant - := c, n

sînr;r

On n'obtient ainsi qu'une intégrale particulière. Pour avoir l'intégrale générale, il faut poser

C désignant une fonction de x. La recherche de cette fonction conduit à une équation linéaire du. second ordre, d'où l'on déduit

et, par suite,

c' sin7?/r -4- r" coswr

On serait parvenu tout d'abord à ce résultat si l'on avait développé j' suivant les puissances de x — a, en se donnant les valeurs de y^ eiàe -j- pour j? = a.

MÉTHODE DES GOEFFICIEliTS INDÉTERMIIfÉS.

6H. On peut encore employer la méthode des coefficients indéterminés pour développer en série Tinlégrale

QUÂRAl^TE HUITIÈME LEÇON. l43

d'une équation différentielle. On obtient souvent par ce moyen des développements qui renferment des puissances négatives de a:, ce que ne peut donner la série de Maclaurin.

Reprenons l'équation différentielle du numéro précédent, sous la forme

Supposons que l'intégrale soit

(2) X = Aa?« -i- Bx^ + c^y -h . . . ,

«, 65 y, . . . étant des nombres croissants : on aura

dx

dx"

et la substitution de ces valeurs dans l'équation proposée donnera

Aa (a H- i) a:«-^ -4- An'x^-+^B^ {6 -f- 1) J?^~" ^ -4- Bn^x^ -h Cy (7 H- 1) j:>'"'^ + Cn^x^-^, . . = o.

Pour que cette équation soit identique, il faut que les coefficients des différentes puissances de x soient nuls séparément. Or, puisque a, 6, y . . . sont des nombres croissants, a — 2 est le plus petit exposant de x dans 1 équation (3). On doit donc avoir

Aa(a -M)=:0,

et, comme A ne peut pas être nul, il faut qu'on ait

« = 0, ou a= — I.

Prenons d'abord a — — i . Les deux plus petits exposants

i44 COURS d'anàltse.

qui viennent ensuite sont a et 6 — 2. Ils peuvent être ëgaux ou inégaux : s'ils sont inégaux, le terme B6 (6-|-i)x^~* ne pouvant se réduire avec un autre devra être nul de lui-même, ce qui donnera 6 = ou 6= — i* Mais on ne peut supposer 6 = — i, puisqu'on a déjà a = — i, et que a e»t supposé moindre que S : donc 6=0. Parmi les exposants qui suivent, les plus petits sont a et y — 2; nous devons les supposer égaux, car le terme A/i'x" doit se réduire avec un autre, puisque A ne peut être nul. De

là résulte

7 = 1, A/2'-hC7 (7 +1) = 0.

On trouvera de même

e = 3, Cn'

et ainsi de suite-, il en faut conclure

An*

Par conséquent^

ou

A COS/2X Bsin7i.r

ou bien, en posant A = c, - = </,

CCOS/7J? -f- d sin/ix