L'interprétation géométrique de cette formule est

facile; car ses deux membres représentent également le

Fig. 107.

volume ABCDA'B'C'D' compris entre la surface qui a pour équation z =f[Xj j)^ le plan des xy et les quatre plans qui ont pour équations

DÉTERMINATION DE l' INTÉGRALE

sin"a:flKr.

457. On peut déterminer une intégrale définie quand on connaît l'inlégrale indéfinie; mais il y a souvent des simplifications. Ainsi, quand on a

(f[x) dx = ^(x) + U {x)clx,

il en résulte

Jr*b /*b

/{x)dx = ^{b)--^(a)-+- ^(x)dx, a Ja

et si "i/^x) est une fonction plus simple que f{x)^ l'intégrale cherchée sera ramenée par cette formule à une intégrale plus simple.

Soit, par exemple, Finlégrale

ûn^xdx^

En intégrant par parties, on a / sm^xdx z= I s\ï^''^Jcd{—'COsx)

j= — sin""' X cosar H- (/i — i) / sin"~*^ cos^xdx;

8 COURS O^AVALTSB.

Qu bien, en remplaçant cos*x par i — sin'or,

/ sin'*xdx = — sin"~» x cosx -+-(/! — i) / sin'*~^Tdx

— (n — i) 1 sm"xdx.

De là on tire

/sin'*xtix =2 sin"~' x cosa: h 1 sin*~' xeix, n n J

Intégrons maintenant entre les limites o et -? et observons que le premier terme du second membre s'annule à ces deux limites, n étant plus grand que i : il viendra

(l) Un= «n-î.

Soit n un nombre pair : nous aurons successivement /i — 3

U^ z=z \ dx =z —

Si l'on multiplie toutes ces équations membre à membre, il vient

TT î 3 5 n — I

En changeant /i en n H- i dans la formule (i), on aura

TREIÎTE^SEPTIEME LEÇOIî.

et cnsuMe

sin^dlr = i.

En multipliant toutes ces équations membre à membre, on aura

4S8, La formule (i) ne peut plus servir à la déterminalion de u„ quand n n^est pas un nombre entier; mais on peut l'employer, dans ce cas, à réduire Tindice audessous de r uni lé.

Dans tous les cas, en faisant j^ = sinor, l'intégrale

sin^xr/jc o

se ramène à la suivante

qui est algébrique.