Supposons, pour fixer les idées, que l'on ait trois

équations différentielles simultanées du premier ordre

entre une variable indépendante x et trois fonctions y,

z, u de cette variable. On pourra, en général, résoudre

/ . j , . , dy dz du ^

ces équations par rapport aux dérivées ~-> — ' w~ ®^ ^

remplacer par des équations de la forme

dz

di~

du Si""

dx

dx Q "

dz

du

p, Q, R, V étant des fonctions déterminées. Le problème proposé revient donc à établir entre les variables x^y^ z^ u des relations telles, que les différentielles de ces variables soient proportionnelles aux fonction» P, Q,

Je dis maintenant que les relations cherchées doivent contenir trois constantes arbitraires. En effet, les équations (i) déterminent seulement les accroissements infiniment petits des variables j^, z^ u pour un accroissement *3ifiniment petit de x. On peut donc prendre à volonté les valeurs dey, z, et m pour a:=a. En raisonnant comme on l'a fait dans le cas d'une seule équation différentielle (549), on voit quej)^, z el u sont des fonctions

i6o COURS d'analyse.

déterminées de a:, dépendant nécessairement de leurs valeurs initiales, qui sont tout à fait arbitraires. Les équations intégrales doivent donc contenir trois constanles arbitraires. Ces constanles peuvent d'ailleurs être remplacées par d'autres ayant avec elles des relations arbitraires, pourvu qu'on puisse déterminer les nouvelles constanles de manière que y^ z et u aient des valeurs données correspondant à une valeur donnée de x.

627. On arrive à la même conclusion par la série de Taylor, En effet, si Ton représente par y^» ( ;7- ) j etc., les valeurs de y et de ses dérivées pour x = a, on aura

Ensuite, des équations

r/j Q ^__R. Î^V dx'~v' dx"^ V^ dx~'V^

d^ Y on peut déduire ■^— en fonction de x^y^ z, u\ par conséquent f -~^ 1 dépendra des valeurs arbitraires attribuées

à y, z, M pour X =-a. Donc le développement de / contiendra trois constantes arbitraires. Les valeurs de z et de u dépendront aussi des mêmes constantes.

Les raisonnements qui précèdent s'étendent évidemment à un nombre quelconque d'équations. Par conséquent m équations du pj^emier ordre entre m -\- 1 "variables^ et qui peuvent être mises sous la forme (i), admettent toujours m intégrales contenant m constantes ai'i/fra/re5. Ces constantes doivent être telles, que l'on puisse donner à m des variables des valeurs arbitraires pour une valeur quelconque altribuée à la (/tï -f- i)"'** variable.