INTÉGRATION DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES

Équations qui se ramènent aux équations différentielles ordinaires. — Élimination des fonctions arbitraires. — Équations linéaires du premier ordre k deux yariables indépendantes. — Cas de trois yariables indépendantes.

ÉQUATIONS Qt'I SE RAMÈNEWT AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES.

642. Le problème qui fait l'objet du calcul înversedes différences, ou des différentielles partielles, consiste à chercher une fonction connaissant une relation entre celle fonction, les variables dont elle dépend et une ou plusieurs dérivées partielles de cette fonction, prises par rapport à ces variables.

643. Nous commencerons par le cas particulier trèssimple où les dérivées partielles renfermées dans l'éqnation ne sont relatives qu'à une seule variable. Il faut alors opérer comme si l'on avait une équation différentielle ordinaire, mais après Tinlégralion on remplacera les constantes arbitraires par des' fonctions arbitraires des autres variables indépendantes. Soit, par exemple,

du

en regardant j" comme une constante, on a, tt z=z x^y -i- C,

et en remplaçant la constante C par une fonction arbitraire de j-,

CIJNQUAJNTE ET UNIEME LEÇON. IJQ

On trouvera de même que rinlégrale de réquatîon

du xy

est

xy ---■\- au.

dy

^[x) désignant une fonction arbitraire de x,

644. Ce procédé peut quelquefois s'étendre à des équations où entrent des dérivées partielles relatives à deux variables. Soit, par exemple,

, , d"^ u du