Si entre Téquation

et sa différentielle

r/F , dF ^ dx dy

on élimine la constante arbitraire c, Féquation résultante

exprimera une propriété commune à toutes les équations que Ton obtient en donnant à c différentes valeurs, et, par suite, une propriété relative à la tangente de toutes les courbes représentées par l'équation (i).

Un théorème analogue a lieu pour les équations où entre une fonction arbitraire de deux fonctions des mêmes variables. Soient, en effet,

deux fonctions déterminées des variables x^ y^ z\ établissons entre a et 6 une relation arbitraire

Posons

dz dz

et différentions, tour à tour, l'équation (3) par rapport à x, et par rapport à j^j nous aurons

d% d^ ,, ^ [dx dx \

d^ -, , ( da, doL \

^^' ' d^ d^ ,, , dci

en éliminant la fonction ^'(a) entre ces deux équations,

CINQUANTE ET UNIEME LEÇON. l8l

nous obtiendrons une équation de la forme

P, Q, V étant des fonctions de x^y,^ z.

Celte équation exprime une propriété commune à toutes les équations de la forme

et, par conséquent, une propriété commune aux plans tangents de toutes les surfaces que ces équations représentent.