Supposons donc que l'intégrale de l'équation

(1) p^+Qy=:R

soit

a el 6 étant des fonctions inconnues de x^y et z. On tire de l'équation (2)

(dot. doL ,.^^(d^ d^ \

11 faut qu'en éliminant p et q entre les équations (i) cl (3) on retombe sur une équation identique, ou qui devienne identique en ayant égard à l'équation (2).

Si l'on ajoute les équations (3) après les avoir multi-

CINQUANTE ET UNIÈME LEÇON. l6f

pli ces respectivement par P et Q, on aura

ou bien, en ayant égard à Fëquation (i),

Or, on satisfera identiquement à cette équation, quelle que soit la fonction cp, en choisissant les fonctions a et S de telle sorte que l^on ait

! doL ^ da ^ da

et ces conditions seront remplies (629) si l'on prend pour a et 6 les fonctions y*(j:,j^, z)^fi (•^îJK? ^l? ^^h égalées à des constantes, donnent les intégrales des équations simultanées

dx djr dz

D^ailleurs, toute intégrale

(6) F(ar,7, «)=:0

de Téquation (i) peut être mise sous la forme (2), En effet, on tire de Téquation (6)

• dx ' dz df * dz

et ces valeurs étant portées dans l'équation (1), qu'elles doivent rendre identique, puisque F = o est une intégrale, on aura

^d¥ ^d? ^dF

i86 COURS d'analyse*

d'où Ton conclut (632) que F est une fonction de a et de S. Donc l'équation (6) équivaut à une relation, a = 9(0), entre ces deux fonctions.

De là résulte que non-seulement Téquation (2)

dans laquelle a et 6 désignent des' fonctions qui remplissent les conditions (5), et cp une fonction arbitraire, satisfait à Téquation (1), mais encore que c'est Téquation la plus générale qui résolve le problème.

On arrive donc à cette conclusion :

Si

/{^> Xy «) = Cy fi (x, j, z) = c'

sont les intégrales du système

dx dy dz

¥^~ q"~ r' et si Von pose

V intégrale de V équation

sera

(f désignant une fonction arbitraire,