Lorsque x q\ y sont des quantités réelles, on a

tf» X ^^ = ^■*"-^.

La même relation a Heu quand on a x^ — 1 et y^ — i au lieu de x el dej^. Eflectivement on a, en multipliant membre à membre l'équation (i) et celle qu'on obtient par le changement de a: en j",

^* X<?-^ == ces (j^ + y) -f- >l — I sin (a; 4-7),

c'est-à-dire

On peut encore démontrer cette relation de la manière suivante. Quand x et j^ sont réels, on a

e* X ^^ = <^^^t il s^ensuit que, dans ce cas,

Or celle relation esl une idcnlité, car elle doit avoir lieu pour toutes les valeurs réelles de x et de y, sans au- <uue dépendance entre ces valeurs. Par conséquent, celle identité subsiste encore, lorsqu'on y change x et r en X s] — I Gij \l — 1 5 donc

e»*^X er*^= ^C+y)^^.

149. Par extension , on est convenu de représenter par ^x-i-j^-\ le résultat de la substitution de x-^-yy] — i à la place de x , dans la série

La formule e* Xj^ = e""^^ est encore vraie lorsque les exposants sont de la forme x -hj si — i .

En eflet, on aura d'abord, en changeant y ou y sj — i dans l'équation identique (a) ,

on a, par conséquent,

f'-hr^-' = c' {cosy + v^— i sin/),

^u-f-fVrr e"(coSP 4- v/^sin(0; donc

«?'+r*^X fc"+'*^~ — ^-+-" [co5(/ + i>)'\- v/^sin(j -f- c)], c'est-à-dire

150. Toute expression imaginaire a 4- b ^— i /;ez/^ e/rt' wwe sous la forme e^-^ *. En effet , comme

^+7 vTï __. ^^ (^jos j -1- y/— I sin j) ,

il suffit , pour opérer celle transformation, de poser e^cosj = ^, c*sinj = t; d'où (e*)'=rt'H-t% et comme e' est toujours positif,

126 coLus d'analyse.

On aura ensuite

co^X = — — et svïïjr = ■

Alors, si (f est le plus peiit des arcs positifs qui ont

, pour cosinus, et , pour sinus, on aura

V^«' -h ^' si a' -\-b^

/étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif. D'après cela , on a

a + b sf^ = e^ K- ^^')+;-^ i^+ 9) ^-\

On peut aussi obtenir ce résultat de la manière suivante. Posons

p (cos <p-hV — I six\rf) = a -i- b sj — i , on aura

Il suffit donc que Ton ait

c*(cos/-+- v^ — I sinjr) = p(coscp -h y^— i sin«p), c'est-à-dire e* cos J = p ces ^ , c* sin y = p sin <p : de là on tire [e* )* = p% d'où e* = p = -h \/rt' 4- ^S par suite cos j = cos «p et siny = sin ^ ;

donc

z étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif, ce qui donne , comme plus haut ,