Si l'on voulait trouver la valeur de l'expression

DOUZIÈME LEÇON. l33

? (rt)/(a) , dans laquelle y (a) = o et /(«) = oo , on remarquerait que

expression qui devient - pour x = a.

On pourrait encore poser

qui devient — pour x=a.

Dans les deux cas, on appliquerait les règles précé«dentés. On trouvera ainsi

lim (i — x) tang — == *" P^^^*" ^= >•

157. Lorsque les dérivées de (f [x) etf(x) conduisent à des expressions qui présentent toujours la même indétermination que l'expression dont on cherche la vraie valeur, on est obligé d'avoir recours à des artifices particuliers. Celui qui réussit le plus généralement consiste à remplacer x par a -f- A , à développer les fonctions par la série de Taylor, à opérer toutes les réductions et simplifications possibles, et à faire finalement, dans le résultat, h= o.

.. .V'jF-r-v^-f-s/x — fl, . o Ainsi ^ devient - pour o: = rt.

T . j t f ' ^ 1 six 7.dx û,. 00

Le quotient des dérivées — devient — ,

et il est évident que les dérivées suivantes donneiont toujours — • Pour déterminer la valeur de cette expres-

i34 couus d'amalyse.

sioa , posons x = a 4- A ^ elle devient

si a 4-/i — \la-\-sJ7i.

v/Â sl7.a -+-/< Si l'on multiplie les deux termes de ce rapport par V^a 4- /* 4- V^a, il vient

divisant ensuite ces deux termes par ^A, on a

slJi -h ^(i -f- A -f- V^

expression qui, pour A = o, devient 2 V^ I

2\/« . v^2ûr y^ïâ

On serait encore parvenu à ce résultat , en développant ya-f- h par la formule du binôme.