EXTENSION DU THÉORÈME DE TAYLOR

161 . Soit II =f[x,y) une fonction de deux variables. Pour développer f [x-k-h^ j^ -+- A) , on change d'abord X en x-^-hty y en /4-Af et, dans le résultat /{x-h ht^ y-^^^) on fait t = i.

Soit donc

si Ton pose, pour simplifier la notation,

x-^htz^p et ^-f-Xf = ç, on a

Maintenant on a, d'après la série de Maclaurin,

?{') = ?(o) + '?'(«) rh-f- <,"{o) -{-...+ 1 yW(o)+R et

Mais, à cause de y (^ ) == U,

puisque l'on a

dp =r hdt , r/y = / f/r ;

donc

Si l'on désigne 9' [t) par U', U' sera encore une fonction

de p et de ^ 5 et l'on aura î

^ ^ ^ dp dq dp' dpdq dq'

Mais le dernier membre n'est autre chose que le dëve-

iC^

l3S COURS D ANALYSE.

loppemeiit cle ( -7- A 4- ;7- A ) dans lequel on aurait remplacé dV* par rf* U^ on peut donc écrire la formule symboliqu c

on aura de même

et , général ,

ce qu'on démontrera aisément en faisant voir (comme pour les différentielles totales des fonctions de plusieurs variable) qu^une nouvelle différentiation revient à multiplier chaque terme de l'expression symbolique par

— //-+- -j- ky puis à changer les exposants de ^U en indices de différentiation.

Ainsi donc on aura généralement :

//^/^ '^'U, rl"Xl , , «(«—1) r^«U ,

V ^^ dp" dp''-'dq 1.2 dif-^dq-"

\ dpdff"-' dq"