Maintenant, comme

si Ton fait f = 0, p devient égal à x^ q hy^ U à i/, et Ton a

t l'on a

et 1 on^ L^J. t»t du , du , I /rf«, rf«,\(')

\ 1.2.3 \r/x //^ / I.Î.../Î y/jc trr /

On a d'ailleurs

i.2../iL\rf/> rf<7 y y/x f/j / J'

expression dans laquelle il faut remplacer p par x -f- /i, et y par;)^H-6Â^.

163. Comme h et A" sont les accroîssemenis arbitraires des variables indépendantes x et j^, on peut les remplacer par dx et ^, ce qui change ç' (o) en du^ ?'' (o) on d^ 1/, etc., et il vient :

On parviendrait de la même manière à la formule

= /* 4- du H h ... H h R ,

ou

Dans cette expression symbolique, on a

et B représente une fracliou posilive.

i4o COURS d'analyse.

Quand on reconnaît que R peut devenir plus petit que toute quantité donnée, lorsque n est assez grand, la série indéfinie qui forme le second membre de [a] est convergente et a pour somme/ (x 4- A, )^-f-/r, z -h /,...). C'est la série de Taylor étendue à un nombre quelconque de variables.

164. On peut faire voir ici, comme pour les fonctions d'une seule variable, qu'en prenant h et h assez petits, un terme quelconque du développement, s'il n'est pas nul, surpassera en valeur absolue le reste de la série, à partir de ce terme.

Ainsi soit le terme

""*"' 1 .2. .« yr/jt" daf^-^ dy ' ' ' rif/" /'

on a

R ^" d^^ ^ \ dp"-' dq djf^'dy jJi'^'"

djf dx"-' dy h * * '

après avoir divisé les deux termes de la fraction par A". Or pour /i = o et A == o, devient

dp» dq'*-'' daf'dr''^

donc, en prenante et h assez petits, le numérateur pourra être rendu plus petit que toute quantité donnée , puisqu'il se compose de groupes de termes qui tendent séparément vers zéro , tandis que le dénominateur a une limite différente de zéro \ donc, etc.

EXTENSION DU THÉOIli:ME DE liACLAURIN.