FONCTIONS HOMOGÈNES

166. Une fonction est dite homogène y lorsqu'en multipliant les variables qu'elle contient par un même facteur, le résultat est égal à la valeur primitive de la fonction multipliée par une certaine puissance de ce facteur. Ainsi f{x^ /, z) sera une fonction homogène si l'on a

f[tx, ty, tz) = f^f{xyy, z); m est dit le degré de la fonction.

167. Si Von divise une fonction homogène de degré m par une des variables élev^ée à la puissance m , la fonction ne dépendra plus que des rapports des autres variables à celle-ci.

VvviV^^'*^ ' i{^ 'f '] ^^^^^'>^^-VN ^

^ En effet, posons fx = i^ on aura f = -» et la relation

/(ri,//, rz) = /'»/(^»r,2) devient

^{'•i'ih'-^

Réciproquement^ si celte condition est remplie, la fonction est homogène. En effet, si

-^ on a

Éliminant la fonction (p, il vient

ce qui démontre que la fonctiony(j:,j', z) est homogène.

168. Les dénuées partielles et du premier ordre de toute fonction homogène du degré m, f (x, y, z), sont des fonctions homogènes du degré (m — 1).

Soit, en effet, '^'^''^^J' ^^ =y(x, j,3); on a (166)

/(tx, tjTy iz) = trf{x,y, z.); d'où , en prenant la dérivée par rapport à x ,

ff[tx, tx,(s)t=t^^(xyX, z); ce qui revient à

cf{tX,tX,tz)z=:r-^ff{x,r>z)'y

donc (f (x^fy z) OU — • * ■ est une fonction homogène du degré m — i .