Pour toute fonction homogène, on a

/{tx,ff,tz) = r/{x^X,z); posons

theizième leçon. i43

On aura , u désignant /"(a:,/, 2),

(«) /(^ -4- aa:, / + a/, a 4- az) r= (iH-a)*"».

Or, la série de Taylor pour les fonctions de plusieurs . variables, donne

( /(a:-hax, 5*4-a^, z 4-a2)

) fdti du du \ a} [du du du \(^)

puis le développement du binôme donne

w im — i)

(i 4- ar w = w 4- mucL H ^^ • uct} -h . . . .

Or, comme [a) est une identité, il en résulte que

,r^. I du du du \(^^ , . , .

^VcT^-ir

La relation (1), la plus importante, montre que h somme des dérivées pattielles d'une fonction homoA L4L^7^ gène 5 multipliées respectivement par la ^variable corres- \f / pondante , est égale à la fonction nudtipliée par son \ degré.