Exemple

« = Aj:'+Bj»4-Cz'4-2Djz4- 2Eaz + 2Fxr,

du on a -— == 2Ax -h 2E2 4- aFr,

— - == 2Br 4- 2Dz4- 2F-C, ^/

du ^ .^ „

-—= 2Cz 4- 2Dj4- sKx, dz

i44 COURS d'analyse.

d, . du du du

OU x—^x — -hz —

dx dy dz

= 2(Aj:»4- B7»-f-C3»+ 2 D/z -h 2Exz-^ 2Fj:^) = 2a.

171 . On peut obtenir l'identité (i) directement comme il suit.

Posant ex = /:?, rj^ = 7, ^3 = r,

on a

d'où il résuhe , si l'on prend la dérivée des deux membres par rapport h t ,

^APiJjlI} a: ^ ^'^^P' ^' ^^ y 4- ^>^(^> ^' ^) ^ ^1)7 dq ' dr

= mr-'f{x,y,z).

Cette identité a lieu pour toutes les valeurs àet\ or si f = I ,

dr '

deviennent

respectivement

donc

du dz ""

mu.

172: Pour démontrer directement la relation (2), il faut différenticr (i) par rapport à x^kyetkz-^ ce qui donne les équations

d^u d^ u d^ u du du

rfj:* rw? «y az dx dx dx

d^ u d^ u d^u du du

^ ty — r + y TT ■+■ ^ j ^ "+" :r = ''^ T" »

r/x r/;^ "^ dfy' . //^ rtz ax df

d^ u d'^ u d* u du du

(fx dz " /// dz dz^ dz dz

Digitlzed by

Ajoutons ces équations respectivement multipliées par x^yj z^ puis retranchons des deux membres de Téquation résultante la quantité

di''-^Tyy^ih^^

du du du

il viendra

(du du du \(»)

On obtiendrait de la même manière les équations suivantes.

ÎO

Maximums et minimums des fonctions d'une seule variable indépendante. — Applications. — Maximums et minimums d'une fonction implicite.

MAXIMUMS ET MINIMUMS DES FONCTIONS D ITNE SEULE VARIABLE INDÉPENDANTE.

173. Soit y* (a:) une fonction d'une seule variable j:. Si 5 en faisant croître x^ la fonction prend une valeur réelle qui surpasse celles qui la précèdent et celles qui la suivent immédiatement, cette valeur de la fonction est dite un maximum. On appelle minimum une valeur moindre que les valeurs voisines.

Si f{x) devient un maximum pour x= a^ la différence f{a-+- h) — y {«) sera négatiue^ quel que soit le signe de A, pourvu qu'on prenne h suffisamment petit. Cette différence serait positive sif(a) était un minimum. il A. Une fonction peut avoir plusieurs maxin^umset minimums , lesquels doivent se succéder alternativement. Un maximum peut être irioindre qu'un minimum. Un maximum négatif devient un minimum quand on fait abstraction de son signe , et de même un minimum négatif pris positivement devient un maximum. Ces diverses conséquences de la définition sont rendues manifestes par l'inspection de la courbe sinueuse ABCDE. Soit y z=z f i^x) l'équation de cette courbe; les valeurs

maximums et minimums de f{x) sont évidemment les ordonnées des points A, B, etc., où la tangente est parallèle à l'axe des X, On voitqueTor-

Fig. 6.

xcy

QUATORZIÈME LÉCOK. l4j

donnée du point Â, qai est^un maximum , est moindre que Tordonnée du point D, qui est un minimum , et que ror-»donnée du point B, qui est un maximum en valeur absolue, est un minimum quand on la prend avec son signe;

175. On sait que la fonction y (x)*croît continuellement lorsqu'en faisant croître jt, dans un certain intervalle, la dérivéey (a:) reste constamment positive ^ et que /{j:) décroit au contraire quand la dérivée est négative^ La fonction f{x) ne devient donc ni maximum ni nii^ nimum tant que ^ x croissant, la fonction dérivée conserve le même signe. Mais si la dérivée change de signe lorsque x atteint et dépasse une certaine valeur a, alors la fonction /(jr) deviendra, pour celte valeur, un maximum sî la dérivée passe da positif au négatifs ou un mi^ nimum si la dérivée passe du négatif au positif. Cette dérivée ne peut d'ailleurs changer de signe qu'en s'évanouissant, ou bien encore en devenant discontinue ou infinie. Ainsi ^ les valeurs de x qui rendent f(x) maximum ou minimum, sont uniquement celles pour lesquelles y' (x) devient nulle, infinie ou discontinue en changeant de signe.

176. Ordinairement le maximum et le minimum répondent à des valeurs de x pour lesquelles la fonction dérivée change de signe en s'évanouissant et en restant finie et continue. Dans ce cas, on peut établir les conditions du maximum et celles du minimum a l'aide de la série de Taylor. On a d'abord

f(x H- h) --f(x) = hf {x) ^ R.

Si f {^x) n'est pas nulle, la différence f(x + li) — f[x] a le même signe que hf [oc]. Cette différence change donc de signe avec h\ A.o\\Q.f{x) n'est, dans ce cas, ni maximum ni minimum.

Mais si/' [pc] est nulle , oti a

to..

i48 COURS d'analyse»

alors, quel que soit le signe de h^f(x 4- /*) — J{^) a le même signe que f" [x). Donc si/" [x) est positive pour la valeur de x que Ton considère et qui annule/' (^) » f{x) est un minimum, et si/" [x) est négative, /(r) est un maximum. *

Mais si f"{x) est nulle, on aura

et si/'"(.r) n'est pas nulle, /(x-f- A) — f{^) changera de signe avec h : f{x) ne sera ni maximum ni minimum. Si /'" [x] = o, on aura

et /(:r) est un minimum ou un maximum selon que /'^ [x) est positive ou négative pour la valeur de x ç[m annule/' [x) , /" {x) , /'" (x), et ainsi de suite.

177. En général, si une valeur de x annule (fuelques-runes des r/érwées successives f (x), f'''(x),..., et si la première déri^^ée quelle n annule pas est d* ordre pair y la fonction { [jl] est un minimum ou un maximum , selon que cette dérix^ée est positivée ou négativ^e; mais il ny a ni maximum ni minimum si la première dérivée qui ne s'annule pas est d* ordre impair,

178. Celte règle s'accorde avec celle que nous avons donnée plus haut ( n*^ 175) ; car si , par exemple, les trois premières dérivées s'annulent, on aura, en appliquant la série de Taylor à la dérivée

et l'on voit bien que/'{j:) changera de signe avec /i. Il est clair que /' (x) ne changerait pas de signe avec h s^ la première dérivée qui ne s'annule pas était d'ordre impair.

QUATORZIEME LEÇOIV .