APPLICATIONS
179. Nous allons maintcnaut appliquer celle théorie à quelques exçmples.
1°. Mininnun de ocf , Comme il revient au même de faire celle recheiche sur le logarithme népérien de cette expression , posons
f{x) = 1.x* = x\x\ on aura f'[^) = i H- 1j^ et f"[x) ■= —
Or si l'on fait
on a
d'où X zz e~^ = — e
Reste à savoir si y(-J ou -If-j, et par suite (-) est bien un maximum ou un minimum. Or, comme
on en conclut que x' a un minimum qui répond à x = —
2^, On donne deux points A et B, situés dans deux mi- '^' ^' lieux différents, séparés par une
surface plane P. Un mobile se meut dans le premier milieu ai^ec une vitesse uniforme n, et dans le second milieu av^ec une vitesse uniforme y\ on demande le chemin AHB que ce mobile doit suii^re pour se rendre de A en B dans le temps le plus court.
Il est clair d'abord que ce chemin devra être composé de lignes droites. Je dis ensuite que la ligne brisée qui résout le problème doit être dans le plan ABCD , conduit par les perpendiculaires AC, BD au plan P. En effet,
l5o COtlRS D^ ANALYSE.
supposons que cette ligne soit AGB et qu'elle rencontre le plan P au point G non situé dans le plan ABCD. Menons GL perpendiculaire à CD, et joignons AL et BL. Les triangles AGL et BGL étant rectangles en L, on a AL <^ AG et BL <^ BG; par suite, le mobile ira plus rapidement de A à B en suivant le chemin ALB qu'en suivant le chemin AGB.
Cherchons donc, dans le plan ABCD, perpendiculaire au plan P, la ligne AHB, qui est parcourue par le mobile dans le moindre temps possible. Soient
AC = «, BD=è, CD=:c et CH=:j?;
le temps que le mobile emploiera pour aller de A en H
AH i/û' -h x^ sera — = ? et celui qu'il mettra pour aller de H
en D sera — = ^ \ par si
qu'il s'agit de rendre un minimum est
en D sera — = ^ \ par suite, la t onction
Posons donc.
f [x] ou — — zr = o,
ou bien
Si l'on voulait tirer de cette équation* la valeur de x, il faudrait en élever les deux membres au carré, et l'on aurait ensuite à résoudre une équation du quatrième de-^ gré. Mais comme
siQGAH = sinAHK,
s/b'^{e-xy
:ir= sinHBD m sinBHI,
QUATORZIÈME LEÇON. l5l
on voit que, dans le cas du mînimam [la fonction f(x) n'a pas évidemment de maximum] on a
sinAHK sinBHI sin AHK u
r^r OU —. = —
U P sm BHI V
Dans la théorie de la lumière, cette quantité -i rapport des vitesses de la lumière dans les deux milieux, est l'indice de la réfraction de la lumière, au passage du premier milieu dans le second.
3". /i^^) = e* "+- acoso: -f- /?"',
on a
/' (x) =ze* — 2 sin x — ^-',
f'\x) = e* — 2cos;tr ■+- e".
Si l'on égale f'{x) à o, on a j: = o , valeur qui , substituée dans/'(j:), donne/* (o) = 4.
Pour savoir si c'est un maximum ou un minimum, substituons o à la place de x dans f^'(x). Comme f"(o) = o, il faut aller plus loin. Or
/"'{x)=:e*-h^s\nz — f' et /^''{x) =e' -^ 2cosx -h e"',
d'où Ton tire
■ r'(o) = o et /-(o) = 4;
donc / (o) =4 est un minimum de f(x),
4^. Troui^er la distance minimum d'un point donné M (a, b) à une courbe dont on connaît V équation
Joignons MK, K étant un point quelconque de la courbe. On aura
MK'=(x-fl)^-H(/-^)».
En égalant à zéro la différentielle de cette expression, nous aurons .
l52 COURS DAlfALYSE.
équation qui revient à
X — a dx
dy Or cette relation entre -j-y coefficient angulaire de la tan-
gente à la courbe donnée au point (x^ y), et
oef-
ficient angulaire de la droite MK , montre que ces deux droites sont perpendiculaires entre elles. Donc la droite minimum doit couper la courbe donnée à angle droit. Si la distance MK était susceptible d'un maximum, on le trouverait encore par la résolution des équations (i) et (2). Supposons en particulier que la courhe y :=. f {^x) soit le cercle dont l'équation est
On aura alors -7- = » et la relation (2) deviendra
dx Y . \ /
ou bien , après réduction ,
Ainsi, pour .déterminer x et y, nous aurons les deux équations
qui, prises simultanément, représentent les points d'intersection du cercle donné avec la droite MO. Alors KM sera la ligne minimum, et K'M la ligne maximum,
QUATORZIÈME LEÇON. l53
comme on le verra facilement en consid'ërant les dérivées suivantes.
Mais il se présente ici une singularité que l'on peut cependant expliquer par la définition mémo que l'on a donnée des- maximums et des minimums.
Supposons que le point donné soit le point N situé sur l'axe des abscisses à une distance a du centre. Le carré de la distance Nil sera représenté par l'expression
ou bien par
r' — 2 ax H- a}.
Or la dérivée de celte expression est une quantité constante ( — ia) qui , par conséquent , ne peut être égalée à zéro. Ainsi, quoiqu'il existe une distance minimum qui est NA , on ne Tobiient pas par notre procédé. Cela vient de ce que, d'après la définition, une fonction est minimum pour une certaine valeur de la variable, lorsqu'elle augmente pour des valeurs plus grandes et plus petites de cette variable. Or, si NH est considérée comme une fonction de x, NA n'est plus un minimum dans le sens que nous venons de dire, puisque cette fonction, réelle pour des valeurs de x moindres que r, devient imaginaire pour des valeurs plus grandes.
Cette fonction est nulle pour x = o et pour jc = 6. Il est clair qu'entre les deux valeurs o et i , il y en aura au moins une pour laquelle elle sera maximum -, en prenant la dérivée, on aura
/' (^ ) == mcxf^-' {h —xY — nxf" ( h — x^-' , -- x^-^ ( h — j;)"~' i^mh — mx — nx).
11 faudra donc poser
i54 COURS d'analyse.
ce qui donne les trois valeurs
mb ,
A la première correspondra un maximum, comme on a déjà pu le voir, mais on peut le vérifier directement , car la dérivée passe évidemment du positif au négatif quand x dépasse la valeur
Si m est pair, à la valeur o correspondra une valeur minimum de la fonction, mais dans ce cas seulement. En effet, pour des valeurs positives ou négatives trèsvoisines de zéro, les facteurs de la dérivée [b — a:)"~' et mb — [m -f- n) x sont toujours positifs, tandis que le facteur x'"~* passe du négatif au positif, puisque m est pair : la fonction sera un minimum dans ce cas. Mais si m est impair, aucun des facteurs de la dérivée ne changera de signe , et il n'y aura ni maximum ni minimum.
On verra de même qu'à la valeur b , il correspondra un minimum si n est pair, et qu'il n'y aura ni maximum ni minimum pour .r = fc , si n est impair.
MAXIMUMS ET MINIMUMS DES FONCTIONS IMPLICITES d'uNE SEULE VARIABLE INDÉPENDANTE.
