y du

tions de x et supprimant Jes termes ou entre — »

d/dj dx dy'

dx dz

df d,f dx'^ dy'

dx dz

dz Tx = ''

djf^rl^

tix tir

^^di,

dx dz

i56 COURS d'analyse.

,^ ,!• , dy Hz . , .

bn éliminant — et — entre ces trois équations, on

arrive à une équation,

qui, jointe aux équations (i), détermine les valeurs de x,y yZ et li, qui peuvent répondre à des maximums ou à des minimums de /£.

L'élimination de y- et de — entre les équations (2)

peut se faire en multipliant ces équations respectivement par I, X et fx, ajoutant le tout et choisissaut les indéter--

minées X etfx de manière que les coefficients de— et de

— soient nuls dans le résultat. On remplace ainsi les

équations (2) par celles-ci :

dj ^ do d'if

dx dx dx '

L'élimination de X et de /Jt conduit quelquefois plus rapi-

dr j dz -p- et de — dx dx

dément à Téquation (3) que celle de — et de — entre

les équations (2).

182. On pourrait avoir à déterminer les maximums ou les minimums d'une fonction explicite F (x, j^, z, m), x^y^z et II étant des variables liées entre elles par les équations

D*après cela, Tune des variables, x par exemple, pourra être regardée comine indépendante 5 y, z, Uy F (x,y,z,u) y seront alors des fonctions de x.

Pour résoudre celte nouvelle question , il suffit de remarquer qu'elle est un cas particulier de la précédente, savoir celui dans lequel la fonction implicite, dont on cherche les maximums et les minimums , n'entre que dans une seule des équations (i).

i58 COURS d'analyse.

Maximums et minimums des fonctions explicites ou implicites de plusieurs variables indépendantes.— Notions sur les infiniment petits.

MAXIMUMS ET MINIMUMS DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES.

183. On dit qu'une valeur particulière et réelle d'une fonction de plusieurs variables indépendantes /* (or, j^, z) est un maximum quand elle surpasse toutes les valeurs voisines de cette fonction, c'est-à-dire celles qu'on obtiendrait en donnant aux variables des valeurs très-peu différentes de celles que l'on considère. On appelle minimum une valeur particulière de la fonction moindre que toutes les valeurs voisines. La différence Au ou

devra donc être constamment négati\>e pour des valeurs suffisamment petites et aussi petites que Ton voudra, de A, h et /, quandy*(a:,y, z ) est un maximum^ quels que soient les signes de /i , A et / ; au contraire, cette différence est constamment posiMe quandy(x,y, ^î) est un minimum. Supposons que la fonction u =y(a:, y^z) soit un maxi-^ mum ou un minimum pour j: = a,y=6, ^=:c. Si dans cette fonction on attribue k y el k z les valeurs fixes b et c, elle devra être un maximum ou un minimum pour X:=a, Par conséquent, il faudra que, pour x = n ^

Y z=: b^ z = c^ ■^- soit nulle , infinie ou discontinue. On a,v

dira la même chose de -;- et de -7— Donc les valeurs de dx dz

x^y^ z qui rendent u maximum ou minimum se trouvent parmi celles qui rendent les dérivées — > -j-, -bulles, infinies ou discontinues.

184. En se bornant au cas où ces dérivées sont continues , on peut s'aider de la série de Taylor pour distinguer, parmi les solutions du système ,

du du du

celles qui répondent à des maximums ou à des minimums. En eÛet, on sl Au ou

Or il a été démontré que Ton peut toujours prendre h , A et / assezpetits pour que la somme des valeurs absolues des termes qui contiennent h^ketl k un même degré surpasse la valeur absolue du reste R correspondant, et, comme dans la question qui nous occupe on doit regarder A, A et / comme pouvant être plus petits que toute quantité donnée, et en même temps comme ayant des signes quelconques, il suit de là : i" que le signe de A M doit être le même que celui de

du du du

dx dy dz

2^ que si l'on n'avait pas à la fois

du du du

f[x^j^z) ne pourrait être ni un maximum ni un minimum, puisqu'en changeant simplement les signes de A,

/f et /, le sjgne de — A -f- ;7~ ^ + 7~ « > ^^5 P**" suite, celui

de Au changerait aussi. On retombe donc ainsi sur les conditions précédemment obtenues.

185. Cherchons maintenant quelles sont les condition» nécessaires et suffisantes pour que f (j^ 'ij'yz) soit un minimum ou un maximum.

lia différentielle totale du premier ordre étant nulle y

i6o COURS d'analyse.

on aura

Aa=: — (A/i^4-B/»4-C/'-f-2DM-f- aE^/^-2FX/)4-R,

on bien A « = - t/' a -f- R.

Admettons d'abord que A , B , C , D, E , F, qui , pour abréger, désignent les dérivées partielles du second ordre,

TT' TT' ^^^"i "6 soient pas tous nuls a la lois pour les

valeurs àe x^ y^ z considérées, c'est-à-dire celles qui

1 1 1 / - / 1 • ^ du du du

annulent les dérivées du premier ordre — -» -7-% — -• * dx dy dz

Si d}ii n*est pas îdentiquement nulle, il peut arriver trois cas :i^ (Pu pourra changer de signe, alors il n'y aura ni maximum ni minimum : 2** ^? m conservera toujours le même signe, alors u sera maximum ou minimum selon que c?' u sera négative ou positive-, 3** (Pu sera nulle pour certaines valeurs de h ^k ^l^ mais sans jamais changer de signe. Alors on ne peut dire si la fonction est un maximum ou minimum, et pour avoir une conclusion , il faudrait pousser plus loin le développement de An.

Nous nous contenterons de chercher les conditions nécessaires et suffisantes pour que rf* m ou la fonction

AA'-4-B^»-hC^H- 2DMh-2E>^/^-2FX7

' soit constamment positive , quels que soient les signes de

fi^ijl^ pour de très-petites valeurs de ces trois quantités. Mais comme cette expression est une fonction homogène de /i , A et / , on voit , en la mettant sous la forme de

' que , si elle est positive pour de très-petites valeurs de

/?., A, /, elle le sera aussi pour des valeurs aussi grandes

; que Ton voudra de ces variables, pourvu que leurs rap-

: ports ne changent pas. Ainsi , il sera nécessaire et suffi-

QUINZIÈME LEÇON. l6l

sant que celte expression

soit positive pour toutes les valeurs réelles possibles de A , A et /.

Observons maintenant que si l'un des coefficients des carrés, A par exemple, était nul, les coefficients des termes qui contiennent A, c'est-à-dire D et E, seraient aussi nuls. En effet , dans ce cas, on a

rf»£i==PA4-Q, en posant