P=:2(DX + E/), Q = BA« + C/»+2F

P et Q étant indépendants de A ^ si , après avoir donné des valeurs arbitraires à Ar et à /, on fait

A = — p + « > puis ensuite A = — ^ — « ,

les résultats de cette substitution sont Pa dans le premier cas, et — Pa dans le second. Donc, si P n'était pas nul identiquement, d^ u pourrait changer de signe. Par conséquent , l'égalité A = o entraine les suivantes :

Il résulte de là que les coefficients A, B, C, et même deux d'entre eux ne sont pas nuls à la fois ; car s'il en était ainsi, la fonction e;?' m s'annulerait d'elle-même , ce qui est contraire à la supposition que nous avons faite au commencement.

Supposons donc que A, par exemple, ne soit pas nul-, je dis que l'on aura A}>o; car si l'on pose ^ = et / = o, la fonction se réduit au terme A A* qui, pour être positif, exige que A soit > o. Une première condition nécessaire dans le cas du minimum est donc

Maintenant, on peut écrire d^u ou la fonction

A/i'-f BX»-f- C/^+ 2DA/ -j- 2E/t/+ 2F/7 I. II

i6'2 COURS d'analyse.

sous la forme

on bien encore, en complétant le carré dont les deux premiers termes sont dans la parenthèse,

/, D^-hEiy D'X''4-2EDA/4-EV. ^, ^

Al Ah -r— ) -^— -^^ — f-B^»-f-C/'-|-2F/7

Si Ton pose, pour abréger,