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on devra donc avoir, pour toutes les valeurs de A, A, /, A (h 4-?A±^yH-G^'H- 1/^4- 2M/7>o.

Si G était nul, la fonction considérée se réduirait pour

à IP-^nMAl.

Ce binôme ne peut être positif pour toutes les valeurs de / et de A que si M = o ; mais d* u pouvant alors être mis sous la forme

cette différentielle s'annulerait pour la valeur / = o jointe à une infinité d'autres valeurs de /c et de / , cas particulier que nous avons écarté.

Soit donc G différent de o : si l'on fait

/ = o et /i = /',

la fonction se réduit à G A', et comme ce résultat doit être

QUINZIÈME LEÇOH. l63

positif pour toutes les valeurs de Ar, on en déduit que G doit être > o. Ainsi , une seconde condition , nécessaire dans le cas du minimum , est

Maintenant, en faisant abstraction du premier terme, le reste du polynôme pourra s'écrire

ou, en complétant le carré dans la parenthèse,

en posant, pour abréger,

En sorte que, finalement, d^u pourra être mise sous la forme

et l'on reconnaîtra, comme plus haut, que l'on doit avoir

Ainsi, en général , trois conditions,

sont nécessaires pour que f(x, y^ z) soit un minimum. De plus, ces conditions sont suffisantes; car, si elles sont remplies, l'expression

c'est-à-dire d^ u , sera positive pour toutes les valeurs réelles de A, h et /.

i64 couKs d'analyse.

186. Si f{x^ y, z) est un maximum, il faudra, pour les mêmes raisons, que l'on ait

ou bien

— A//'— Bit»— ... — 2F/>o

pour toutes les valeurs réelles de A, Âr, /.

i Ainsi on aura les conditions nécessaires et suffisantes, en remplaçant, dans les trois conditions trouvées plus haut , A par — A , B par — B , . . . , F par — F.

187. S'il arrivait que les coefficients différentiels A, B, C , D, E, F fussent tous nuls, pour les valeurs de x^ j et z^ tirées des équations