Supposons que l'on ait les équations

/ i^y Xy z, «, P) = O,

^ (^y Jy 2» W> ^) = O-

On peut considérer deux quelconques des variables , par exemple x et y^ comme indépendantes. Alors z, m, \f seront des fonctions de a: et de j^ déterminées par ces équations. Si Ton veut, par exemple, chercher les maximums et les minimums de la fonction v^ on aura , d'après

QUI»ZI£ME LEÇON. l65

la règle donnée précédemment, les valeurs correspondantes de X et Y en résolvant les deux équations

dv dv

Par suite, on doit avoir

dx^-ydyz=^o.

dv dif

dx djr^

c'est-à-dire que la différentielle totale de t^ doit être nulle.

Si Ton différentie les équations (i) en faisant attention que d\fz=io^\\ viendra

f^f , df , df , df ^

-f.dx^^dy-\--fdz'k'-^duz=o, dx dy dz du

(2) ; '^dx-^-^dx-^'-^dz-^-^dii—Oy

\ dx dy ^ dz du

d^ ^ d^ ^ d^ ^ d^\ ^ dx dy. dz. du

Dans ces équations, dx^ dy sont des constantes, et dz^ du sont les dilTérentielles totales de u et z considérées comme fonctions de x et dej^.

On tirera les valeurs de dz et du , de deux de ces équations, et, les portant dans la troisième, on obtiendra une équation de la forme

Pdx-i-Qdf =. o.

Cette équation doit être vériGée, dans le cas du maxj:* mum et du minimum par les valeurs correspoiidanles des variables x et y. Par suite, puisque dx et dy n'ont au-r cuue dépendance entre elles, il faudra que l'on ait P=o, Q = o,

équations qui, jointes aux équations (i), donneront les valeurs cberchées de x^jy z^ u,^.

Pour savoir si la valeur correspondante de la fonction

i66 COURS d'analyse.

est maximum ou minimum, il restera à examiner si la

différentielle totale d^ \^ garde toujours le même signe.

189. Ce qu'on vient de dire renferme comme cas particulier la détermination des maximums et des minimums de fonctions de variables indépendantes liées entre elles par un certain Hombre d'équations.

Ainsi, supposons qu'il s'agisse d'une fonction

et que l'on ait en outre les relation^^

<p(j:,jr,3,//) = 0,

On voit que cela revient à changer, dans la question précédente, f{x^y^ ^9 w, ^) enF (a:,y, >z, u) — i^, et à supposer que les fonctions (p de ij/ sont indépendantes de p».