NOTIONS SUR LA MÉTHODE INFINITÉSIMALE
190. Avant d'aborder les applications géométriques du calcul différentiel , nous allons démontrer quelques tlléorèmes sur les infiniment petits.
Comme nous l'avons déjà dit, une quantité infiniment petite ou un infiniment petit est une .quantité variable qui tend vers o.
Pour que le rapport de deux quantités infiniment petites tende vers une limite quand elles approchent simultanément de zéro, il est nécessaire que ces quantités dépendent l'une de l'autre. La recherche de cette limite est facilitée parles théorèmes suivants :
191. Théorème L La limite du rapport de deux quantités infiniment petites nest pas changée, quand on remplace ces quantités par d'autres qui ne leur sont pas égales, mais qui ont avec elles des rapports tendant vers l'unité.
QUINZIEME LEÇON. idy
Soient en eiOTet a et |3 deux quantités infiniment petites, a' et /3' d'autres quantités telles, que les limites des rapports —,i ~ soient égales à l'unité; on aura
de sorte que la limite de ~ est égale à la limite de -^
De même T^^ ' « '
de sorte que la limite de — est égale à la limite de ^.
Donc les rapports
tendent vers la même limite.
192. On peut encore présenter la démonstration de ce théorème comme il suit :
Puisque — a pour limite l'unité, si Ton pose
on aura — = i H- -
et - devra tendre vers zéro ^ ce que l'on exprime en disant que 3 est une quantité infiniment petite par rapport à a.
On aura de même ^ = ' + t'
par suite ,
i68 COURS d'analyse.
Donc , puisque - et -) ont pour limite o , on aura
,. a' .. P hm-^Xlim^ = I,
ou lira - = lim -r-*
Ce nouveau point de vue donne lieu à cet autre énoncé ;
La limite du rapport de deux infiniment petits ne change pas quand on les remplace par d* autres qui en différent d'une quantité infiniment petite par rapport à eux.
Exemples, i^. On sait que x devenant infiniment petite
-: — tend vers l'unité. Si donc on avait à trouver la limite sino:
du rapport — —t on pourrait lui substituer, en vertu de
notre théorème, le rapport = dont la limite
' ^'^ tangx 1
est aussi l'unité.
,. sin2x ,. 2.x 2
2°. lim -r-5— = lllïl 5~ = ô '
sm3j: ix 6
On 1- Sij^^ 1- ^
3". lim -; — ^r- = Um = 00 .
sm' 3^ 9^^
193. Si une somme d'infiniment petits ^ dont lenomhre augmente indéfiniment y a une limite finie ^ en les multipliant respectis^ement par d'autres infiniment pe^ tits, la somme des produits sera infiniment petite, ou aura pour limite o.
En effet, soit une somme d'infiniment petits A, A', etc., et posons
soient a, a', «',..., d'autres infiniment petits, et e le plus grand d'entre eux en valeur absolue : on aura
ah -f- a' A' H- a" A"-+-. . .<6C.
Or e tendant vers o et C vers une limite finie , on voit bien que «A -f- a' A' -f-. . . , doit tendre vers o.
Par ei^emple, considérons l'aire comprise entre la ^' 9 courbe plane CD , Taxe des x et
les deux ordonnées CA et DB.
Imaginons que l'on partage AB en parties de plus en plus petites, telles que PP, suivant une loi quelconque, mais de manière toutefois que chacune de ces parties tende vers o. Je dis que la somme des rectangles tels que MIM' K, construits avec la différence de deux ordonnées consécutives et l'in-
tervalle PF, a pour limite zéro.
On a, en effet, ^PP'
AB
et
2 MIM' K = 2) PP'- M>
MK
et, comme Kl est une quantité infiniment petite, on aura, en appliquant le théorème précédent ,
^MIM'Krz: o.
194. Quand on considère des infiniment petits qui dépendent les uns des autres , on en prend un en particulier qu'on nomme infiniment petit principal et auquel on rapporte les autres comme à un terme de comparaison. On appelle alors infiniment petits du premier ordre tous ceux dont les rapports à celui-là ont des limites finies \ infiniment petits du second ordre , ceux dont les rapports aux infiniment petits du premier ordre sont des infiniment petits du premier ordre ^ et ainsi de suite.
D'après cela, si a est un infiniment petit du premier ordre, tout autre infiniment petit de cet ordre sera de la forme a (/? H- j3), p étant fini et (3 infiniment petit. Et, en général , «" (p -h j3 ) représentera un infiniment petit de Tordre «.
Exemples. \^, x étant un infiniment petit du premier
ordre , sin x sera du premier ordre puisque -: — a pour
limite i ^ i — coso: sera du second ordre puisque
I — cos x= 1 sm' - X , etc.
2^. Si raccroissement h d'une variable x est du premier ordre, l'accroissement h d'une fonction de cette variable sera en général du premier ordre; maisjcet accroissement sera du n'*'"'^ ordre si/' (x), /'' (.r), . . . , /"""* [x) sont nulles, puisqu'on a, dans ce cas,
Le théorème démontré plus haut (n^* 191 et 192) peut encore s'énoncer ainsi : Quand on cherche la limite du rapport de deux quantités composées d* infiniment petits de divers ordres^ on peut ne conserver y dans chacune de ces quantités , que les infiniment petits du plus petit ordre. Ainsi
-. sino; -h 3sin'x ,. sinx lim = lim = I ,
Dans cet exemple, on négligp, au numérateur, 3 sin* j:, infiniment petit du second ordre, vis-à-vis de sin a:, qui n'est que du premier; et au dénominateur, on néglige Finfiuiment petit du troisième orflre ix^ vis-à-vis de x^ qui est du premier ordre.
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