MT

iy4 COURS d' ANALYSE.

Enfin , pour la longueur MN de la normale, on a

Exemple.

Supposons , pour fixer les idées, a > i . Cette courbe , ^'S' *^- nommée logarithmique, s'étend

à Tinfini des deux côtés de Taxe desj^, et elle est asymptote à l'axe Ojc du côté des x négatifs. On lire de l'équation y = a',

1 a étant le logarithme népérien de a-^ par conséquent,

est Téquation de la tangente.

Cette tangente peut être construite bien simplement à l'aide de la sous-tangente TP^ on a, en effet.

cIjc dx

TP = j — = /i' — = «' X

dy dy

a' la

Ainsi la sous-tangente est constante et égale au logarithme de e pris dans le système dont la base est a , ou au module de ce système. Pour la logarithmique y=e'^ la valeur constante de la sous-tangente est l'unité.

DEGRÉ DE l'équation DE LA TANGENTE.

199. L'équaiion de la tangente au point [x^y] peut être mise sous la forme

dy dx dy

Si l'équation de la courbe est algébrique et du degré

SEIZIÈME LEÇON. I rjS

m , il semble au premier abord que -j- ^ -^ -j- J sera

une fonction du w'*"** degré des coordonnées du point de contact. Mais on peut faire voir que ce degré s'abaisse au moins d'une unité quand on tient compte de l'équation

/(•^'.y) = <>- En effet, soit

u étant l'ensemble des termes du degré w, ii^ l'ensemble de ceux du degré m — i, et ainsi de suite. On aura

df du dui du-2

dx dx .dx dx " '

d'où

du y

du2

df dx

dy^

"dy

[ dux du A 1 du^ duA

Vd^-^^i^j-^K'd^-^^df)-^--

ce qui, d'après un théorème (n® 169) sur les fonctions homogènes, donne

li'^'^lî^^'^'"'' 4- (w -i) u, + {m - 2) w,+... = — u^ — 2 izj — 3 ;/3 — . . . , puisque, le point [x^j) étant sur la courbe, on a

//2 (W 4- «1 -f- Wj -+-...) = o .

Par conséquent, Téquation de la tangente devient

A f il f

et ne contient plus de termes du w'^'"*' degré. Ce qu'il s'agissait de démontrer.

Exemple.

Ar'-i- Ba?jr -4- Ca7^-h D j H- Ex -i- F = G,

on a î^ ^ BrH-2Cx4-E

fl^o: 2Aj + Ba:H-D

Il vient donc, pour Téquation de la tangente,

(2Ay4-Bx-4-D)(Y — ^)-h(B^-f-2C:c + E)(X— x)=o, ou (2A^-+-Bj:-f-D)Y4- (B^ -f- 2Ca:+ E)X

= (2Aj-f-Bj:-+- D)^-f-(B^-f-2C;c4-E)*.

Simplifiant au moyen de Téquation de la courbe , on a finalement

(2 A^-h B*4-D) Y-f (B^+2 Cx-i- E) X+D^H-Ex-i-2 F=:o, pour l'équation de la tangente au point [x^y).