I. la
178 couKs d'ahaltsc.
on aura pour le point dont l'abscisse X == or + A ,
et, par suite, Tordonnée correspondante sera d'où M'R = M'F — FR=:^ — + R.
dx* 1.2
On a démontré, à l'occasion de la formule de Taylor, que si h est assez petit et si -^ est différent de o , la valeur absolue de -^ surpasse celle de R5 par conséquent, dans
ce cas, le signe de M'P' — P'R , pour un point M' de la
courbe, suffisamment rapproché, soit d'un côté, soit de
dW l'autre de M, sera le même que celui de ~^'
Donc, si l'on a
dW
les ordonnées de la courbe sont plus grandes que celles de la tangente dans les environs du point M , de part et d'autre de ce point.
% Si , au contraire , on a
les ordonnées de la tangente surpassent celles de la courbe. Dans le premier cas que représente Isifig. i4 9 1& courbe, ^*€' »5* aux. environs du point M,
est dans l'angle obtus MTx' que toinie la tangente MT avec l'axe des abscisses ; on dit alors que la courbe tourne, aupointM, sa convexité vers l'axe des abscisses , ou qu'elle est convexe vers cet
SEIZIEME LEÇOir. lyg
axe» Cette circonstance est donc indiquée par l'inéiralité (i), du moins tant que Tangle des axes ne surpasse pas 90 degrés j car si cet angle était obtus et plus grand que Tangle que la tangente fait avec Taxe des x, comme on le voit dans la^g:. 1 5 , les ordonnées de la courbe seraient encore, pour ^ > o, plus grandes que celles de la tangente de part et d'autre du point M, et cependant on ne dirait pas , dans ce cas, que la courbe est convexe vers l'axe des X,
Dans le second cas , que représente la^ig'. 16 , la courbe
^'^- '^- est, de part et d'autre du point
M 5 dans l'angle aigu forint par
la tangente MT avec l'axe Ox.
On dit alors que la 'courbé, au
point M , est concave verà l'axe
des abscisses , ou qu'elle tourne
sa concavité vers cet axe: mais
l'inégalité (2) n'indiquera sûrement cette circonstance
que si l'angle des axes est moindre que 90 degrés.
Ce qu'on vient de dire suppose que l'ordonnée du point M est positive. Si ce point est au-dessous de l'axe des abscisses, on voit aisément que la courbe est convexe ou
concave vers l'axe des abscisses siuvant que l'on a -7*^ <[ o ou > o.
En résumé , selon que jr et -j^ sont de même signe
ou de signes contraires, la courbe est convexe ou concave au point M vers l'axe des abscisses, si l'angle des parties positives des axes n'est pas plus grand qu'un angle droit. Dans le cas où cet angle est obtus , ou changera le signe de l'une des coordonnées , ce qui rendra aigu l'angle des coordonnées positives, et l'on appliquera la même règle.
