Nous avons supposé, jusqu'à présent, que ^-j

l8o COVRS D^NALYSE

conservait le même signe pour des points situés de part

et d'autre du point M-, mais il peut arriver que -r^ ait

le même signe que y un peu avant que x ne devienne

égale à OP, et un signe contraire après que x a dépassé cette valeur, ou vice versa.

Alors la courbe, convexe ou concave à gauche du point M , devient concave ou convexe vers Taxe des abscisses à. droite de ce point. On dit alors que la courbe a une inflexion au point M, qui est dit un point d'injlexion. Ces points remarquables s'obtiennent donc en cherchant

l'es valeurs de x et de y^ qui rendant -^ nulle ou infinie, lui font en même temps changer de signe.

Différentielle de Taire «rune courbe plane. — Desaires considérées comme limites d'une somme de parallélograinmes.*^Applications.—>RecUfication d'un arc de courbe plane. — Différentielle d*un arc de courbé. — Li^ mite du rapport de l'arc & sa corde. — Nouveaux théorèmes sur les arcs de courbe considérés comme limites.

DIFFÉaEATlELLË D£ l'aIIIE D^UNE COURBE PLANE.

204. La surface comprise entre une courbe plane CM, une ordonnée fixe CA , une ordonnée quelconque MP cl ^' »S- l'axe des abscisses Oor, est une

fonction de l'abscisse OP=a: du poîntM, puisqu'elle varie quand on change le point P. Proposonsnous d'en chercher la dîflerenlielle. Soit CAMP = i/. Nommons Au la surface MM' PP', répondant à un accroissement très-petit PP'= Ax de l'abscisse. Si l'on mène les droites MI et M' K parallèles à Qx et terminées aux ordonnées MP et M'P', comme l'on peut toujours prendre le point M' assez rapproché du point M pour que les ordonnées soient constamment croissantes ou décroissantes de M en M' {et ici , pour fixer les idées, uous les avons supposées croissantes), on aura

PMM'P'>PMIP' et PMM'P'<PKM'P',

c'est-à-dire, Aw > r Ax et Am < (/ -4- A j) Ax,

OH .r < T-< r -+- '^r-

Ao:

De là , en passant à la limite,

du , ,

--- == r, (Ui diL = y dx,^ dx

205. Quoiqu'on puisse parfaitement admettre qu'en prenant le point M' assez voisin du point M, les ordonnées seront toujours constamment croissantes ou décroissantes de M en M', cette hypothèse n'est pas nécessaire à la démonstration. Il suffit pour s'en convaincre de reprendre les raisonnements en remplaçant partout j^ et y -}- Ajr par j, et jj , jr^ étant la plus petite et y j la plus grande des ordonnées, dans l'intervalle où l'on fait varier l'abscisse.

206, Le même mode de démonstration convient au cas des axes obliques, avec cette seule différence que l'accroissement A u est alors compris entre les aires de deux parallélogrammes dont les côtés sont parallèles aux axes, et comme l'aire d'un parallélogramme est égale au produit de deux côtés adjacents multiplié par le sinus de l'angle qu'ils font entre eux, on a, en appelant l'angle des axes,

du z=. y dx sin ô.