Dans le cas des axes rectangulaires, la surface

ABDC est toujours la limite d'une somme de rectangles

^W^^ , ^'^ '9' intérieurs , formés de la manière

suivante. Par des points E, F,..., • M, M', etc. , pris sur la courbe, on mène des parallèles kOx dont chacun^ s^oît terminée à l'ordonnée du point suivant (l'un de ces rectangles serait, par exemple, MIP'P), et l'on suppose que ces points se rapprochent indéfiniment les uns des autres , en même temps que leur nombre augmente sans limite.

En effet, supposons d'abord que les ordonnées soient constamment croissantes de C en D. Soient x el y les

DIX-SEPTIÈME LEÇOH, |83

coordonnées de Tun quelconque des points de la courbe, M par exemple; soient x-]- Ax, y-\- Aj les coordonnées du point suivant M'. On aura

MIP'P = jAjr;

et si l'on désigne par Zy Ax la somme de tous les termes analogues k yAxy c'est-â-dire la somme de tous les rectangles intérieurs de CA à BD, il est évident qu'en posant surf ACDB = ii , on a

Maintenant, si Ton mène, par chacun des points considérés sur la courbe, des parallèles à Ox, terminées aux ordonnées des points précédents, on formera des rectangles extérieurs analogues à

PKM'P'=(7H-Agr)Ax = ^Ax-f-A/Ax; Au

et comme ACDB a une surface plus petite que la somme de ces rectangles , on a

«<^2^Aj?-f-2AjAjf;

par conséquent , on a

u — Ijrùx ^lljr àx.

Mais comme, à mesure que le nombre des divisions augmente, A y tend vers o, il résulte d'un principe démontré (193) que SAj-Aj? tend aussi vers o: donc on a

tt=:lim 2 j^Ax.

On démontrerait de même que u est la limite de la somme des rectangles extérieurs.

Le raisonnement reste le même lorsque les ordonnées sont constamment décroissantes depuis C jusqu'à D; ce que nous venons de démontrer s'applique donc à une portion de courbe dans laquelle les ordonnées varient d'une manière quelconque, car on pourra toujours partager Faire totale en parties dans lesquelles les ordonnées

i84 COURS d'analyse.

soient assujetties à aller constamment en augmentant ou

en diminuant.

APPLICÀTIOKS.