i«. Soit

y ?=; 7.px

Téquation d'une parabole rapportée à son axe et à la tangente au sonunet.

Si surf OMP = w , on a

Or,

Donc

du=zjrdx= sf%px\dx = ^âp,x^€ix.

x^ ^dsp^^-d.x'* .

Fig. 20.

du = -^ \j7.p d.x^ = d* -x^zp.x* .

De là il suit que

uz=z^slip X» -+- C;

mais, pour a: = o, on doit avoir M=: o, on a donc C=o, et

u ■= ^slipx X îr = 2 ^-^ '

c'est-à-dire que le segment OMP est les deux tiers du rectangle OPMQ.

Il est également facile d'évaluer la surface comprise entre un arc MCM' de parabole et sa corde. En effet, si l'on mène la tangente CT parallèle à MM', et, par le point de contact C , le diamètre CDL , on trouvera tout à fait comme ci-dessus, en posant CD=a?, MD=j^ et

surf CMD = I a:^ sin = -^ CDMT,

d^oiî

surf MCia'= I ^7 sin Ô = ^ MTSM',

DIX^SEPTIÈHE LEÇON. 1 85

2°. Soit xy = in* Téquation d'une hyperbole rapportée à ^V- î»» • ses asymptotes. Nommons u l'ai-

re du segment ACMP, compris entre la courbe , TasymptoteOx, l'ordonnée fixe CA = m , et l'ordonnée variable MP. On aura

dx du = rsm %dx = ni^ sin 6 —

=5 m' sin Oc/. Ix.

Donc u et m'sind.lx ne peuvent différer que par une constante C \ par conséquent ,

r< = m' sin 9 I jr -f- C.

Pour trouver C , faisons x = OA = m ; on aura

a = o ou o = /w' sin G . //« -I- C ; donc C = — m' sin Ô . //7i ,

et, par suite, on aura

i{ = iTi' stn 9 . 1 X -> /n* sin <

te.l/n = /w»sine.l (— )•

Si Ton avait m = i et 9 = go°, auquel cas l'hyperbole serait équilatère, on aurait ii = ljc, c'est-à-dire que les aires considérées seraient les logarithmes népériens des abscisses correspondantes.

DIFFÉREKTIELLE d'cN ARC DE COURBE.

209. On ne peut se faire une idée nette et précise de la longueur d^une courbe qu'en nommant ainsi la limite vers laquelle teiul le périmètre d'une ligne brisée inscrite dans cette courbe, lorsque ses côtés sont de plus en plus petits, et que leur nombre croît jusqu'à l'infini. Il devient alors nécessaire de démontrer que ce périmètre a réellement une limite déterminée dans tous les cas.

Fiç, aa.

i86 COURS d'analyse.

Soit CD un arc de courbe plane, rapportée à deux axes

rectangulaires Ooret O/. Inscrivons danscet arc un contour polygonal ŒFMM'D 5 soient OP = a:, MP=j^, les coordonnées de Fun quelconque des sommets M du polygone, et x-+- Aa:, y + A;^, celles du sommet

suivant M' : on a

MM' = v^Ax» -h A j' = A :r i/ 1 -h \j-\ •

Si Ton faisait Ax ou PP' = o , -^ deviendrait -r-* On

^ Ax dx

doit donc avoir

vRSf=0-(£)'

a étant une quantité qui s'évanouit avec Ax; par conséquent,

MM'

: Ax

vA^'

-H a Ax.

En remplaçant successivement, dans cette équation, x et y par les coordonnées de tous les sommets du contour polygonal, depuis le point C jusqu'au point D, on aura les longueurs des côtés correspondants. De là résulte , si l'on appelle P le périmètre de cette ligne brisée,

Pour avoir la limite de P ou la longueur de l'arc CD, remarquons d'abord que, a étant une quantité infiniment

petite et V ^^ ayant une valeur finie qui est AB, il

résulte du théorème démontré au n** 193 , que

lira \] aAx= o.

Maîntenanl i/ H- ( — | est une fonction de or, que

Ton peut regarder comme la longueur de Tordonnéc NP, d'un point N répondant à la même abscisse x = OP. Si Ton fait la même construction pour tous les points de la courbe CD, on aura une courbe GNH , dont Téquation est

d'après cela on a

et, par suite, à cause de lim V a ûx = o, P = liin2YAx.

Or V Y A x a une limite déterminée qui est Taire AGNHB.

Ainsi le nombre qui exprime la longueur de Tare CD est le même que celui qui donne l'aire AGNHB.

210. Considérons maintenant l'abscisse OP = x comme variable. La longueur de Parc CM sera alors une fonction de X dont on peut chercher la différentielle.

Soit donc CM = s *, comme s = aire AGNP , on a

ou enfin

dsr^Xdx^dxU i^ (^)''

ds = sjdx^ -h dy^.

2H. Cette valeur de ds permet d'exprimer très-simplement le sinus et le cosinus de l'angle que la tangente au point M fait avec l'axe des x. En effet, si a désigne

cet angle, on a tang a = ^« Par conséquent,

ày dy

sm a =• /■ 7= = -7- ? cos a =

COUAS D ADîALYSE.