LIMITE DU RAPPORT DE L ARC A SA CORDE. NOUVEAUX

THÉORÈMES SUR LES ARCS CONSmÉRÉS, COMME LIMITES DE POLYGONES.

212. La limite du rappon d^un arc quelconque à sa corde est r unité.

En effet, considérons un accroissement quelconque de Tare CM. Soit MM' = As^on aura

As arc MM' Aj A.r

MM'

v'aj

et puisque, lorsque Ax s'annule, — devient t/ 1 -h [--f-]

ainsi que

liin

9 on a arc MM'

MM'

Fig. 23.

fJiS

213. Si ce/... f/ est un contour polygonal d'un même nombre de côtés que le contour CEF ... D , si , à mesure que les sommets C , E , F,.. ., etc. , se rapprochent de plus en plus , les côtés ce, e/", etc., tendent aussi de plus en plus à devenir égaux aux côtés correspondants CE, EF, etc., en même temps que le nombre de ces côtés va en augmentant jusqu'à l'infini, le contour polygonal ce/... d a une limite qui est la même que celle du contour CEF... D, c'est-à-dire la longueur de Tare CD.

En effet, soient /, l\V',.. les côtés du contour polygonal cef., , d^ et /i, /', , ^" ,..., les côtés correspondants du contour CEF... D. Appelons L la longueur de cef... d et Lj

celle de CEF... D. Soient y-^^ le i>lus peut et ^-^-j le plus

grand des rapports des côtés correspondants des deux

contours polygonaux. On sait que la valeur du rapport

/ + /^ -h r -h etc. . .

A 4- /, -h r, 4- etc. . .

est toujours comprise entre ^-j^ et j-j-^j c est-a-dire que Ton a

/, iP) "^ L, "^ /, (ff)'

Donc lim =r- =: i , ou lim L = lim Li.

214. Voici encore un théorème du même genre , et que Ton démontrerait d'une manière analogue : Si Ton mène entre les deux ordonnées extrêmes CA , DB un nombre indéfini de parallèles k Taxe des j^, puis que Ton inscrive entre ces parallèles d'autres lignes droites, tangentes à la courbe, la somme de ces dernières tend vers une limite qui est encore la longueur de la courbe donnée , même quand elles ne forment pas une ligne brisée continue.

ipo

COURS D ANÀLTSB.

Des cowrhes planes rapportées à des coordonnées polaires. — Détermination de la tangente. — Longueur des lignes nommées sous-tangentes , sous-normales. —Différentielle de Taire d'un secteur. — Différentielle d*un arc de courbe.— Applications.—- Des coordonnées bipolaires.