DÉTERMINATIOIV DE LA TANGENTE
215. Soîem O le pôle, OL l'axe polaire, et M'MC une ^^' 24. courbe, dont l'ëquation soît
/*( r, 6) = o. Pour mener la tangente MT à cette courbe au point M, il sufBt de connaître l'angle OMÏ = /A. Soient donc r et fl les coordonnées du point M, et r 4- A r, 6 -h A 6 celles du point M'. Décrivons , du point O comme centre, Tare MI. Dans le triangle M' MI on a
sinlMIM MI
MI
sin M' MI Ml arc MI
arc MI "MÏ"'
MI rA0
arc MI àr
Sî l'on passe à la limite, c'esl-à-dire si on suppose que le point M' se rapproche indéfiniment du point M, l'angle IM'M devient OMT ou fx, l'angle M' MI devient go^ — f* et Ton a
On tire de là sinfx
dr
cas II •■
rdô
Comme fz est compris entre o** et 180**, il faut que sin fi soit positif. Quant à cos fx, il sera positif ou négatif, suivant que l'angle /x sera aigu ou obtus.
Fig. 25.
DIX-HUITIÈME LEÇOH. I91
216. On peut encore parvenir à la formule [i) par une transformation de coordonnées.
En effet, prenons l'axe polaire Ox pour axe des abscisses, et une perpendiculaire Oy pour axe des ordonnées. SoientOP=a; et MP =y les coordonnées correspondantes du point M; on aura
tangOMT = tong(MT x — MOT).
Mais
donc
UngMTar=;^ et tangMOT = î;
dx
tangOMT=:
dx'
xdx
ou
^ xdx -h ydx
Or, on a
X =r r cos et ^ = r sin €
donc
flx = ^rcosG — rrfôsinO,
et
dy = dr sin H- rd% cosÔ.
On en tire
r cos (<ir sin ->- rrfô cos 0) — r sin (rfrcos — rd% sin 0)
^ ~" rcosô («/rcosô — rc/ô sinO) -+- rsin 9 (c^>-sin d -H/^0 cosO) '
et toutes réductions faites , il viendra tangOMT = —--=:
rdr
dr
LONGUEUR n£S LIGNES NOMMÉES SOUS-TANGENTES, SOUS- NORMALES.
217. Dans ce système de coordonnées, la sous-tangente est la perpendiculaire OT (/î^. 24) menée au rayon vecteur OM par l'origine, et terminée à la tangente MT. La sous-normale ON se mesure sur la même droite, à partir du pôle O, jusqu'à la rencontre de la normale MN en N. D'après ces définitions, St et S„ désignant ces deux droites^
on aura
r'dB S,=:OT=rtangf*= ——5
r dr
et S. = ON = ; =— .
tang Y- dB
DIFFÉRENTIELLE d'uN SECTEUR. d'uN ARC DE COURBE.
218. ConsidéroDs (fig. Mj P^ge 190) un secteur POM, compris entre deux rayons vecteurs OP et OM. Soient POM = ii et MO]M'= Au. On peut prendre l'arc MM' assez petit pour que, de M en M^ les rayons vecteurs soient constamment croissants ou décroissants. Pour fixer les idées, supposons-les croissants. Décrivons du point O, comme centre, les arcs de cercle MI, M'K, terminés aux rayons vecteurs OM = r et 0M'= r' : on
aura
OMI<Att<OM'K,
OU bien, comme OMI = - r« AO et OM' K' = i r'« A0,
on a -r^AÔ<Att<-r"AO,
2 ^Aô^2
Or, comme à la limite , r' devient égal à r, on a
da I I
—x = - r*, ou du=z- r^ dB,
dB 7. 1
219. Ce calcul conduit à une conséquence qui est souvent utile. On a trouvé plus haut (n^ 216)
xdy — Y dx tangOMT= / ^ 7 ^ . ^ xdx->r ydy
ctaussi (n°215)
tang OMT = -y- 5 dr
- xdy—rdx r^dB
on aura donc —: =S— = —7 —
xdx -^ ydr rdr
mX-HUlTIÈME LEÇON. 1^3
Mais, À cause de r
.r' -+- jr» =: r'j on a xdx -ï- ydy = rdr\
donc art/y — ydx = r*dB,
OU — (jcdy — ydx) = — i^dQ,
Or -r^dO est la diiférenlielle du secteur LOM; donc
cette différentielle est aussi égale à - (x^ — ydx).
On pourrait d'ailleurs obtenir ce résultat de la manière :suivante. On a
=^ = tango; d'où -J—J—z= — ~, X ^ < x^ cos'ô
Or on a ar'=r'cos*ô;
<lonc - [xdy — jrdx) z^:-^ r^dB.
220. Considérons Tare CM = s (fig. 24, page 190)^ ^t soit MM' = As un accroissement donné à cet arc. Dans le triangle M' MI on a
MM^ sinMIM^ MI "^sinMM'I^
^'ott, à cause de MI = r AS,
MM' rÀ6 sinMIM'
arc MW~ As sin MM'
«t, en
passant
à la limite,
rdB f 1 r= — — - . . 9 ds sm ^
rdB
às:=: ,
sm (t
ds=^dr^-hi''dB\
De là résulte (ii^ 215)
COURS D AKALYSE.
sin^ =
dr COS lA = --—
as
221 . On peut encore arriver à la différentielle de l'arc par une transformation de coordonnées; en effet, on a
ds = sjdx^ -H dy^
ou
= v/( drco%^ — rrfô sinô)* -h [drsin H- rd^ ««os^)', ds = ^</r»^ r»rf9».
AVPLICATrONS.
222. 1°. L*lquation d'une ellipse, quand on prend pour ^'S' 26. pAle le foyer de droite F et le grand axe pour axe polaire, est P
