S, = ON
Ainsi la sous-normale est constante, ce qui oflfre un moyen très-simple de construire la tangente.
3**. La spirale hyperbolique^ ainsi nommée parce que son équation
est analogue à celle de l'hyperbole xy = m*.
De r^quation de la courbe on lire r = - : pour 0=o,
on a / == 00 ^ pour des valeurs très-petites de , r est fort grand, et diminue à mesure que Q augmente^ pour 6 = oo , Fig, 28. on a r= o. Par conséquent, la
courbe fait une infinité de révolutions autour du point O sans jamais pouvoir l'atteindre; ce point est un point asymptote.
La courbe a une asymptote parallèle à OA; car si , d'un point M pris sur la courbe , on abaisse une perpendiculaire MP sur l'axe polaire, on aura
mir^ ^„ . ^ . ^ sin 9
MP== OMsmO = rsinÔ = fl--~:
Donc, lorsque tend vers o, la distance MPtend vers a,
sin , 11 . ,
puisque — r~ tend vers I uni te.
1^6 COURS D ANALYStr.
On aura ensuite
rdB rô»
S, = -y- = — 7-9 == — fl.
dr
La sous-tangente est donc constante, ce qui oflre ira moyen commode de mener la tangente en un point donné de la courbe.
4°. La spirale logarithmique , dont Téquation est
En changeant Taxe polaire sans changer le pèle , on peut s'arranger de manière à avoir pour équation
En effet, posons a = e*^, b = e*", alors
Soient OA le premier axe polaire, et M un point de la courbe. Prenons un axe polaire OA' , qui fasse avec le premier
un angle AOA'=-- Alors, si
MOA =ô, en posant 6+^=6', l'équation deviendra
Considérons donc l'équation r= e™»: pour6 = o, on aura r = a , et si l'on fait croître 9 indéfiniment, rcroîtra indéfiniment. Par conséquent la courbe fera, à partir du point A ( fig. 3o) , pour lequel OA = i , une infinité de révolutions. En donnant à des valeurs négatives, r diminuera indéfiniment i donc, la courbe fera encore à partir
DIX-HUITIÈHE LEÇON. ig^
du poÎDt A, mais dans l'autre sens, une infinité de révolutions, en s'approchant toujours du pôle.
On aura dr= me^ dB = mrdB ; par suite, tang jx = ~ »
quantité constante. Donc , dans ' la spirale logarithmique, la tangente fait un angle constant auec le rayon vecteur qui passe par le point de contact.
La sous-tangente sera — 9 et la sous -normale mr,
Vextrémité T de la sous-tangente décrit une spirale égale à la première, mais située différemment. Soit OT = /), on a
me
r e "mm
TT
Or, en posant TOA = — ff, on aura 6 = ô' 4- Par suite,
«t , en prenant un nouvel axe polaire incliné sur le pre^ mier d'un angle égal à 5 puis posant
on aura l'équation
qui représente une spirale égale à la première. L'extrémité de la normale décrit aussi une spirale égale à la première.
DES COORBONN'ÉES BIPOLAIRES.
