Soient deux courbes CMN, C^M'N' ayant pour équations

y et j"' étant des fonctions explicites ou implicites de x. Supposons que ces deux courbes aient en M un point commun , et comparons les ordonnées QN et QN' des deux courbes, répondant à une même abscisse, dans le voisinage du point M : soient OP = a: et PQ = A , on a

QN=/(^+A), QN' = Y(a?-f-A).

Donc

NN'=/(j:-hA) — (p(jr + A), et l'on aura, diaprés la série de Taylor,

1 . 2 \ dx* dx^ ) Or, on peut mettre R sous la forme a , a devenant nul

avec A; et comme M est un point commun aux deux courbes, ce qui donney = J^S ^^ ^

Maintenant, si l'on suppose que les deux courbes aient en M une tangente commune MT , on aura en ou-

Fig

DIX-NEUVIÈME LEÇOfT. 20I

ire —■ = ^5 et Fégalilé précédente deviendra

dx dx

Il est facile de démontrer que la courbe MN' approche plus de la courbe MN, que toute autre courbe MN'^ qui, passant par le point M , ne serait pas tangente à MT.

En effet, soilj'' = ^|; [x) l'équation de MN^'^ on aura

6 s' annulant avec h \ donc

NN' i.2\dx' dx' )

NN'' ■"■ dr dy" ~

djc dx

Donc , quand h tend vers o , on a

Ce qui montre qu'en se plaçant suffisamment près du point M, NN' est moindre que NN", et par suite que la courbe MN' est située entre MN et MN''.