NN'')"+' (N]N

/sinV^Y^'' VsïnN^j

d'où l'on déduit que le rapport — . ^, tend vers une li-^ mite finie, f

CARACTERES GÉOMÉTRIQUES d'uN CONTACT d'orDRE PAIR

OU d'ordre impair.

229. Si les deux courbes CMN, C'M'N', qui ont respectivement pour équation y =f(x) et j^ = (f {x) ^ ont

DIX-KECJYIÈME LEÇON. 2o5

au point M(x^y) un contact de l'ordre », les /»+ 1 conditions suivantes seront remplies :

•^ •^^ dx dx^ dx^ ^= ' * * '' da^'~ da^' Nous avons vu que, dans ce cas, on a

i.2.,.(/z-i-j)\ rfa:«+' daf^' ^ )

Mais, jusqu'à présent, nous n'avons fait attention qu'à la valeur absolue de NN' ou de QN — QN'. Nous allons maintenant avoir égard à son signe.

Si n est pair, w-f-i étant impair, A"+*, et par suite QN — QN', change de signe avec A, et l'on en conclut qu'une des deux courbes étant au-dessous de l'autre à gauche du point de contact, est au-dessus à droite de ce point, en sorte qu'en ce point les deux courbes se traversent mutuellement , comme on le voit dans la figure. ^%- 55. Si n est impair, alors n-f-i

étant pair, en prenant h assez petit , le signe de QN — QN' ne changera pas avec celui de A, c'est-à-dire qu'aux environs du point M les deux courbes ne se traversent pas.

De tout ceci on conclut que, quand deux courbes ont entre elles un contact d* ordre impair, Tune des deux embrasse F autre ^ et que deux courbes se traversent mutuellement au point de contact, quand elles ont un contact d'^ ordre paik.

Une ligne droite tangente à une courbe a en général avec elle un contact du premier ordre , c'est-à-dire d'ordre impair ; aussi est-elle , au point de contact , tout entière d'un côté de la courbe. Si le point de contaot est un

Fig.

M.-rl^^

2o6 COURS d'analyse.

point d'inflexion , alors le contact devient d'ordre pair,

et la tangente traverse la courbe.

DES COURBES OSCULATRICES.